Интегральный метод

Интегральный метод основывается на суммировании приращений функции, определенной как частная производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках. При этом должны соблюдаться следующие условия:

1) непрерывная дифференцируемость функции, где в качестве аргумента используется экономический показатель;

2) функция между начальной и конечной точками элементар­ного периода изменяется по прямой ;

3) постоянство соотношения скоростей изменения факторов .

В общем виде формулы расчета количественных величин влияния факторов на изменение результирующего показателя (для функции z=f(x,y) – любого вида) выводятся следующим обра­зом, что соответствует предельному случаю, когда :

где - прямолинейный ориентированный отрезок на плоскости (х, у), соеди­няющий точку (x₀,y₀) c точкой (x₁,y₁).

В реальных экономических процессах изменение факторов в области определения функции может происходить не по прямоли­нейному отрезку e, а по некоторой ориентированной кривой e. Но так как изменение факторов рассматривается за элементарный период (т.е. за минимальный отрезок времени, в течение которого хотя бы один из факторов получит приращение), то траектория e определяется единственно возможным способом – прямолинейным ориентированным отрезком e, соединяющим начальную и конечную точки элементарного периода.

В работе [1] выведена формула для общего случая.

Задана функция изменения результирующего показателя от факторов

где – значение факторов; ;

у – значение результирующего показателя.

Факторы изменяются во времени, и известны значения каждо­го фактора в n точках, т.е. считается, что в m-мерном прост­ранстве задано n точек:

где значение j-го показателя в момент i.

Точки M₁ и M_n соответствуют значениям факторов на начало и конец анализируемого периода соответственно. Предположим, что показатель у получил приращение за анализируемый период; пусть функция диф­ференцируема и – частная производная от этой функции по аргументу.

Допустим, ëⁱ — отрезок прямой, соединяющий две точки Мⁱ и Mⁱ⁺¹ (i=1,2,…,n-1). Тогда параметрическое уравнение этой прямой можно записать в виде:

; ;

.

Введем обозначение

; .

Учитывая эти две формулы, интеграл по отрезку i можно за­писать следующим образом:

,

где j=1,2,…,m; i=1,2,…,n-1.

Вычислив все интегралы, получим матрицу:

Элемент этой матрицы характеризует вклад j-го показате­ля в изменение результирующего показателя за период i. Просуммировав значения по таблицам матрицы, получим следующую строку:

Значение любого j-го элемента этой строки характеризует вклад j-го фактора в изменение результирующего показателя . Сумма всех составляет полное приращение результирующего показателя.

Можно выделить два направления практического использования интегрального метода в решении задач факторного анализа. К первому направлению относят задачи факторного анализа, когда не имеется данных об изменении факторов внутри анализируемого периода или от них можно абстрагироваться, т.е. имеет место случай, когда этот период следует рассматривать как элементарный. В этом случае расчеты следует вести по ориенти­рованной прямой е. Этот тип задач факторного анализа можно условно именовать статическим, так как при этом участвующие в анализе факторы характеризуются неизменностью положения по отношению к одному фактору, постоянством условий анализа из­меряемых факторов независимо от нахождения их в модели фак­торной системы. Соизмерение приращений факторов происходит по отношению к одному выбранному для этой цели фактору.

К статическим типам задач интегрального метода факторного анализа следует относить расчеты, связанные с анализом выпол­нения плана или динамики (если сравнение производится с пред­шествующим периодом) показателей. В этом случае данных об изменении факторов внутри анализируемого периода нет. Ко второму направлению можно отнести задачи факторного анализа, когда имеется информация об изменениях факторов вну­три анализируемого периода и она должна приниматься во вни­мание, т. е. случай, когда этот период в соответствии с имеющи­мися данными разбивается на ряд элементарных. При этом рас­четы следует вести по некоторой ориентированной кривой, со­единяющей точку (х_о, у_о) и точку (x₁, y₁) для двухфакторной модели. Задача состоит в том, как определить истинный вид кривой, по которой происходило во времени движение факторов х и y.

Этот тип задач факторного анализа можно условно именовать динамическим, так как при этом участвующие в анализе факторы изменяются в каждом разбиваемом на участки периоде. К динамическим типам задач интегрального метода факторно­го анализа следует относить расчеты, связанные с анализом вре­менных рядов экономических показателей. В этом случае можно подобрать, хотя и приближенно, уравнение, описывающее поведе­ние анализируемых факторов во времени за весь рассматривае­мый период. При этом в каждом разбиваемом элементарном пе­риоде может быть принято индивидуальное значение, отличное от других. Интегральный метод факторного анализа находит применение в практике детерминированного экономического анализа.

Статический тип задач интегрального метода факторного ана­лиза – наиболее разработанный и распространенный тип задач в детерминированном экономическом анализе хозяйственной дея­тельности предприятий.

В сравнении с другими методами рациональной вычислитель­ной процедуры интегральный метод факторного анализа устранил неоднозначность оценки влияния факторов и позволил получить наиболее точный результат. Результаты расчетов по интегрально­му методу существенно отличаются от того, что дает метод цеп­ных подстановок или модификации последнего. Чем больше вели­чина изменений факторов, тем разница значительнее.

Метод цепных подстановок (его модификации) в своей основе слабее учитывает соотношение величин измеряемых факторов. Чем больше разрыв между величинами приращений факторов, входя­щих в модель факторной системы, тем сильнее реагирует на это интегральный метод факторного анализа.

В отличие от цепного метода в интегральном методе действует логарифмический закон перераспределения факторных нагрузок, что свидетельствует о его больших достоинствах. Этот метод объ­ективен, поскольку исключает какие-либо предположения о роли факторов до проведения анализа. В отличие от других методов факторного анализа при интегральном методе соблюдается поло­жение о независимости факторов.

Важной особенностью интегрального метода факторного ана­лиза является то, что он дает общий подход к решению задач самого разного вида независимо от количества элементов, входящих в модель факторной системы, и формы связи между ними.

Применение интегрального метода факторного анализа в детерминированном экономическом анализе наиболее полно решает проблему получения однозначно определяемых величин влияния факторов. Появляется потребность в формулах расчета влияния факто­ров для множества видов моделей факторных систем. В работе [1] предложен чаще всего встречающийся в экономическом анализе набор формул расчета элементов структуры для мультипликатив­ных (табл. 4.9), кратных и комбинированных (табл. 4.10) моделей факторных систем. Формулы были выведены в результате выполнения процесса интегрирования. Учитывая потребность наибольшего их упрощения, выполнена вычислительная процедура по сжатию формул, полученных после вычисления определенных интегралов.

Таблица 4.9

Матрица формул расчета влияния факторов в мультипликативных моделях

Вид модели факторной системы	Структура факторной системы	Формулы расчета влияния факторов
Ax	Ay
Вид модели факторной системы	Структура факторной системы	Формулы расчета влияния факторов
Az	Aq	Ap
		-	-	-
			-	-
				-

Таблица 4.10

Матрица формул расчета влияния факторов в кратных и комбинированных моделях

Вид модели факторной системы	Структура факторной системы	Формулы расчета элементов структуры факторных систем
Ax	Ay	Az	Aq	Ap
				-	-	-
					-	-
						-

Дата добавления: 2014-12-10