Построение и исследование экономико-математических моделей с помощью корреляционного анализа

Построение экономико-математических моделей с помощью корреляционного анализа требует не традиционного, а поэтапного решения. Такое исследование состоит из следующих взаимосвязанных этапов: предварительное изучение проблемы; формулировка целей исследования; постановка задачи и ее математическая формулировка; отбор важнейших факторов, влияющих на исследуемый показатель; сбор исходной информации; отсев несущественных факторов; проверка отсутствия автокорреляции; проверка отсутствия мультиколлинеарности; выбор формы связи и составление системы уравнений; расчет коэффициентов корреляции; построение модели в стандартизированном виде; расчет коэффициентов эластичности и построение экономико-математической модели; проверка достоверности полученной модели; экономический анализ полученных результатов; разработка организационно-технических мероприятий; прогноз.

В качестве примера рассмотрим методику построения экономико-математической модели показателя затраты на производство единицы продукции.

Предварительное изучение проблемы. На исследуемый результативный показатель оказывает влияние большое количество факторов. Экономический анализ показывает, что из всего многообразия факторов, оказывающих влияние на уровень затрат и производство (у), наибольшее влияние оказывают:

- стоимость сырья и материалов, тыс. грн.;

- расходы на ремонтно-эксплуатационные нужды (РЭН), тыс.грн.;

- расходы на электроэнергию, воду и пр., тыс. грн.;

- зарплата основная и дополнительная, тыс. грн.;

- потери от брака и рекламаций, тыс. грн.;

- прочие производственные потери, тыс. грн.;

Формулировка целей исследования. Целью исследования является установление причинно-следственной связи технико-экономических показателей работы предприятия и уровня затрат на производство продукции.

Постановка задачи. На основании разработанной экономико-математической модели выявить влияние отдельных факторов на изменение затрат на производство продукции и разработать организационно-технические мероприятия, направленные на их уменьшение.

Отбор важнейших факторов. Отбор факторов является важным этапом в корреляционном анализе. От того насколько правильно сделан отбор факторов, зависит точность выводов по итогам анализа. При отборе факторов необходимо придерживаться определенных правил:

- в первую очередь следует учитывать причинно-следственные связи между показателями, так как только они раскрывают сущность изучаемых явлений;

- при создании многофакторной экономической модели необходимо отбирать самые значимые факторы, которые оказывают решающее воздействие на результативный показатель;

- все факторы должны быть количественно измеримы, т.е. иметь единицу измерения, а информация о них должна содержаться в учете и отчетности;

- в корреляционную модель линейного типа не рекомендуется включать факторы, связь которых с результативным показателем имеет криволинейный характер;

- не рекомендуется включать в корреляционную модель взаимосвязанные факторы. Если парный коэффициент корреляции между двумя факторами больше 0,85, то по правилам корреляционного анализа один из них должен быть исключен из модели;

- нельзя включать в корреляционную модель факторы, связь которых с результативным показателем носит функциональный характер.

При отборе факторов большую роль играют аналитические группировки, способ сравнения параллельных и динамических рядов и другие технико-экономические показатели работы предприятия.

Сбор исходной информации. Исходная информация представлена в табл. 5.9.

Таблица 5.9

Исходные данные о работе предприятия

Периоды	Затра ты на едини цу продукции, тыс. грн.	Стоимость сырья и материалов, тыс. грн.	Расходы на РЭН, тыс. грн.	Зарплата основ ная и дополни тельная, тыс. грн.	Расходы на электро-энергию, пар, воду и др. тыс. грн.	Потери от брака и рекла маций, тыс. грн.	Прочие произ вод-ственные потери, тыс. грн.
	у	Х 1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6
	3,14	7,812	2,836	2,580	0,162	36,7	7,6
	3,14	7,813	2,834	2,586	0,162	36,7	7,6
	3,16	7,810	2,830	2,590	0,163	36,9	7,7
	2,89	7,698	2,832	2,504	0,158	36,2	7,4
	3,17	7,812	2,828	2,598	0,164	36,9	7,7
	3,10	7,796	2,896	2,590	0,163	36,8	7,6
	3,18	7,814	2,828	2,601	0,165	36,9	7,7
	3,18	7,815	2,827	2,611	0,165	37,1	7,8
	3,21	7,818	2,825	2,614	0,167	37,1	7,8
	2,88	7,012	2,912	2,546	0,159	36,8	7,4
	3,21	7,819	2,821	2,615	0,167	37,1	7,8
	3,23	7,821	2,819	2,618	0,169	37,3	7,8
Итого	37,49	92,84	34,088	31,053	1,964	442,5	91,9
	=3,124	=7,74	=2,84	=0,164	=2,588	=36,875	=7,658

Исходная информация, которая будет использоваться в корреляционном анализе, должна быть проверена на точность однородность соответствие закону нормального распределения.

Одним из условий достоверности исходной информации является ее однородность. Критерием однородности информации служат среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации, которые рассчитываются по каждому фактору и результативному показателю.

Чем выше коэффициент вариации, тем относительно больший разброс изучаемых объектов. Если вариация выше 33%, то это говорит о неоднородности информации и необходимости исключения или исключения нетипичных наблюдений.

На основании самого высокого показателя вариации можно определить необходимый объем исходной информации, если она распределяется по нормальному закону по формуле:

. (5.16)

где n- необходимый объем выборки;

-коффициент вариации;

t- показатель надежности связи (который при уровне вероятности P=0,05

равен 1,96);

m- показатель точности расчетов (для экономических расчетов допускаются ошибки 5-8 %).

Следующее требование к исходной информации – соответствие ее закону

нормального распределения. Согласно этому закону основная масса исследуемых сведений должна быть сгруппирована около ее среднего значения, а объекты с очень маленькими или большими значениями должны

встречаться как можно реже. График нормального распределения имеет вид (рис. 5.2)

Рис. 5.2. График нормального распределения

Частота отклонений отдельных значений признака от средней величины является функцией (плотностью) распределения f(x). Это распределение возникает в том случае, если на показатель (x) оказывает влияние одновременно несколько случайных факторов, которые не зависят друг от друга. Чем больше вариация, т. е. отклонение отдельных показателей от средней величины, тем более пологой будет кривая распределения.

Плотность нормального закона распределения определяется по формуле:

(5.17)

где — средняя величина;

σ — среднеквадратическое отклонение.

Проверка отсутствия автокорреляции. При построении многофакторной экономико-математической модели следует исключить автокорреляцию результативного признака (у), т.к. ее наличие будет искажать результаты исследования.

Автокорреляция – это корреляционная зависимость между последовательными значениями уровней (одного и того же показателя) временного ряда: y₁ и y₂;y₂ и y₃ и т.д. Проверка наличия или отсутствия автокорреляции осуществляется путем расчета коэффициента автокорреляции r_i; критерия Дорбина d.

Автокорреляция отсутствует, если коэффициент автокорреляции меньше 0,3.

Коэффициент автокорреляции первого порядка определяется по формуле:

, (5.18)

где n — число наблюдений;

y_t, y_t-1 — уровни ряда;

, - средние значения уровней ряда.

Критерий Дорбина рассчитывается по формуле:

. (5.19)

Если автокорреляции в ряду нет, то значения d находятся вокруг значения цифры 2. Эмпирические значения d сравниваются с табличными значениями (прил.1). В приложении 1 указано два значения d₁ и d₂ - соответственно нижняя и верхняя границы теоретических значений х.

Входами в эту таблицу являются значений показателей (n) и число факторов в модели (V). Существует правило: если d<d₁ — автокорреляция отсутствует (d₁ — табличное значение критерия Дорбина).

Для проверки отсутствия (наличия) автокорреляции по данным табл 5.9 и формулам 5.18, 5.19 составим табл. 5.10.

Таблица 5.10

Проверка отсутствия автокорреляции

yt	Yt-1	Yt*Yt-1	Yt^2		(yt-1-yt)^2
3,14			9,8596
3,14	3,14	9,8596	9,8596	9,8596
3,16	3,14	9,9224	9,9856	9,8596	0,0004
2,89	3,16	9,1324	8,3521	9,9856	0,0729
3,17	2,89	9,1613	10,0489	8,3521	0,0784
3,1	3,17	9,827	9,61	10,0489	0,0049
3,18	3,1	9,858	10,1124	9,61	0,0064
3,18	3,18	10,1124	10,1124	10,1124
3,21	3,18	10,2078	10,3041	10,1124	0,0009
2,88	3,21	9,2448	8,2944	10,3041	0,1089
3,21	2,88	9,2448	10,3041	8,2944	0,1089
3,23	3,21	10,3683	10,4329	10,3041	0,0004
37,49	34,28	106,9388	117,2761	106,8432	0,3821

.

Подставим значения табл. 5.10 в формулу 5.18:

Так как r_i <0,3, автокорреляция отсутствует.

Определим критерий Дорбина по данным таблицы 5.10:

.

Из приложения 1 при n = 12 и V =5 находим: d₁ = 0,56.

Так как d < d₁ = 0,00326<0,56, автокорреляция внутри результативного показателя отсутствует, а это означает, что экономико-математическая модель может быть построена.

Отсев несущественных факторов. Отсев несущественных факторов или факторов, оказывающих одинаковое влияние на изменение результативного показателя, проводится с помощью коэффициентов парной корреляции , при этом существует правило: если коэффициент по своей абсолютной величине меньше 0,3, то связь между фактором х_i и результативным показателем для данной модели считается несущественной и этот фактор из модели исключается.

Коэффициент парной корреляции в общем виде определяется по формуле:

(5.20)

Для расчета коэффициентов парной корреляции составлена табл.5.11.

Подставив значения табл. 5.11 в формулу 5.20, получим: r_yx1 =0,756; r_yx2 =-0,625; r_yx3 =0,876; r_yx4 =0,94 r_yx5 =0,454; r_yx6 =0,947.

Анализ рассчитанных коэффициентов парной корреляции показывает, что все факторы существенны, так как все коэффициенты по абсолютной величине больше 0,3.

Проверка отсутствия мультиколлинеарности

Мультиколлинеарность — тесная связь между факторами. Для проверки отсутствия мультиколлинеарности следует определить коэффициенты парной корреляции между факторами rx_i x_j по формулам:

, (5.21)

(5.22)

и т. д.

Для расчета rx_i x_j составлена таблица 5.12.

Для нашего примера по данным табл.5.12,5.11 рассчитаны rx_i x_j:

rx₁x₂ = ;

rx₁x₃ =0,204; rx₁x₄ =0,656; rx₁x₅ =0,204; rx₁x₆ =0,656; r x₂x₃=-0,53;

rx₂x₄ =-0,39; rx₂x₅ =-0,242; rx₂x₆ =-0,632; rx₃x₄ =0,758; rx₃x₅ =0,79; rx₃x₆ =0,73; rx₄x₅ =-0,80; rx₄x₆ =0,735; rx₅ x₆ =0,749.

На основании рассчитанных выше коэффициентов делаем вывод об отсутствии мультиколлинеарности, так как коэффициенты rx_ix_j по абсолютной величине не превышают 0,8.

Выбор формы связи и составление уравнения регрессии

Примем гипотезу о наличии прямолинейной многофакторной корреляционной связи, которая описывается уравнением:

y=b₁t₁+b₂t₂+b₃t₃+b₄t₄+b₅t₅+b₆t₆,

где b_i — стандартизированные значения коэффициентов регрессии;

t_i — стандартизированные значения факторов x_i.

Для решения уравнения используя способ наименьших квадратов, составим систему:

В системе в качестве коэффициентов при неизвестных стоят коэффициенты парной корреляции между факторами (rx_ix_j), а в качестве свободных членов уравнения – коэффициенты корреляции между у и х (rу_ix_j). С помощью ЭВМ определяем стандартизированные значения коэффициентов регрессии b_i:

b₁ =0,342; b₂ =-0,27; b₃ =-0,083; b₄ =0,998 ;b₅ =0,182 b₆ =-0,444

Корреляционное уравнение будет иметь вид:

y=0,342t₁-0,27t₂-0,083t₃+0,998t₄+0,182t₅-0,444t₆.

Анализ уравнения связи показывает, что максимальное влияние на изменение затрат на производство единицы продукции оказывает заработная плата — основная и дополнительная, знак (+) говорит о том, что с ростом значения фактора х₄ уровень затрат будет возрастать. Отрицательный знак при х₆ говорит о том, что с уменьшением прочих производственных потерь, уровень результативного показателя будет снижаться.

Расчет коэффициентов эластичности и построение экономико-математической модели. Для того чтобы сделать прогноз снижения затрат на производство продукции, необходимо уравнение регрессии представить в единицах измерения показателей.Рассчитываем коэффициенты эластичности по формуле:

, (5.23)

где — коэффициент множественной регрессии;

— среднеквадратическое отклонение у.

; ;

; ;

; .

Уравнение связи приобретает вид:

y = а₀ +0,0052 х₁ -0,112 х₂ -0,0597 х₃ +0,0455 х₄ +0,0006 х₅ -0,0068 х₆. (5.24)

Для того чтобы найти а₀ в уравнением (5.24), подставим в него средние значения у и х_i:

3,124= а₀ +0,00052*7,74-0,0112*2,84-0,0597*1,64+0,0455*2,588+0,0006*36,875-0,0068*7,658; а₀ = 3,088.

Таким образом, экономико-математическая модель взаимосвязи изучаемых факторов и затрат на производство единицы продукции будет иметь следующий вид:

У = 3,088+0,0052 х₁ -0,112 х₂ -0,0597 х₃ +0,0455 х₄ +0,0006 х₅ -0,0068 х₆. (5.25)

Дата добавления: 2014-12-10