Решение типовых задач. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости

Вопросы

Прямая линия

Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости.

Введение

Данное пособие предназначено для студентов-заочников специальностей «Биоэкология» и «Водные ресурсы и аквакультура». Оно содержит задания для проведения практических занятий по темам: аналитическая геометрия, предел функции, дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения, теория вероятностей. Каждое практическое занятие включает перечень вопросов для подготовки к занятиям, решение типовых задач и примеров, а также задания для самостоятельной работы над изучаемым материалом.

Предлагаемый материал поможет студенту-заочнику при закреплении теоретических знаний на практических занятиях и при самостоятельном изучении указанных разделов.

ЗАНЯТИЕ 1. (4 часа)

Цель занятия: Научиться пользоваться формулами для решения простейших задач, освоить различные виды уравнений прямой.

1. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.

2. Различные виды уравнений прямой.

3. Угол между двумя прямыми.

4. Расстояние от точки до прямой.

1. Найти расстояние между точками А(-3;4) и В(5; -2).

Решение. Расстояние d между двумя точками и равно

.

По этой формуле получаем:

.

2. Найти координаты точки , делящей отрезок между точками и в отношении 1:2.

Решение. Воспользуемся формулами

и .

; ; ; ; .

Следовательно, координаты точки С выразятся так:

.

Итак, .

3. Дано уравнение прямой . Проверить, лежат ли на этой прямой точки и .

Решение: Подставляя в данное уравнение координаты точки А вместо текущих координат, получим ; значит точка А лежит на данной прямой. Для точки В ; значит точка В не лежит на данной прямой.

4. Найти уравнение прямой, образующей с осью ОХ угол 135⁰ и пересекающей ось Оу в точке (0;5).

Решение. Из условия задачи следует, что отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат, b=5, угловой коэффициент . Следовательно, по формуле имеем .

2) Написать уравнение прямой, проходящей через точку и составляющей с осью ОХ угол 45⁰.

Решение. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении:

.

Согласно условию ; и , следовательно, искомое уравнение прямой будет:

или .

3) Найти угол между двумя прямыми:

и .

Решение: Имеем . Используем формулу . Получаем ; .

7. Проверить параллельность прямых

и

Решение. Приводим уравнение каждой прямой к виду , получаем и , откуда . Следовательно, прямые параллельны.

8. Доказать, что прямые и взаимно перпендикулярны.

Решение. Приведя уравнения прямых к виду , получаем и , откуда и , при этом выполняется условие ; следовательно, данные прямые перпендикулярны.

9. Найти расстояние от точки до прямой .

Решение. Воспользуемся формулой

.

Имеем , - уравнение прямой;

получаем .

Задания для самостоятельного работы

1. Построить прямые, заданные уравнениями:

1) ;

2) ;

3) .

2. Найти угловые коэффициенты прямых:

1) ;

2) .

3. Найти уравнение прямой, которая проходит через точку параллельно прямой, соединяющей точки и .

4. Найти уравнение перпендикуляра, восстановленного в середине отрезка, соединяющего точки и .

5. Найти расстояние от точек:

1) ;

2)

до прямой .

6. Найти длину высоты в треугольнике с вершинами

Занятие 2. (2 часа)

Дата добавления: 2014-12-16