Предел функции

Пусть определена в окрестности точки _, за исключением, быть может точки

Определение по Коши. Число А называется пределом функции при (в точке )_, если для каждого числа можно найти такое число , что будет меньше , когда , при .

При этом пишут или при .

Определение по Гейне. Число А называется пределом функции в точке , если для любой последовательности , где, , , сходящейся к , (т.е. ), последовательность соответствующих значений функций , , сходится к числу А, (т.е. ).

Эти два определения равносильны.

Функцию называют бесконечно большой при , если для всякого числа М >0 существует зависящее от М число , такое, что при всех удовлетворяющих неравенству . Записывают коротко или при .

Функцию называют бесконечно малой при , если

Справедливые свойства:

1) ;

2) ;

3) , (при ).

Первый замечательный предел: .

Второй замечательный предел:

Пример 1. Найти следующие пределы:

а) ; б) .

Решение. а) , здесь числитель и знаменатель дроби при стремится к нулю (неопределённость вида ).

Имеем = .

Итак, = 2.

б) = ;

числитель дроби стремится к 75, а знаменатель стремится к нулю, т.е. является бесконечно малой величиной, следовательно, рассматриваемая дробь – бесконечно большая величина и .

Пример 2. Вычислить

Итак,

Пример 3. Найти пределы:

а) , б) .

Решение. а) =

б) .

Пример 4. Найти пределы:

а) б)

Решение. а)

б)

Дата добавления: 2014-12-16