Свойства матричных операций

Предположим, что размеры матриц A, B и C таковы, что соответствующие операции сложения и умножения определены.

Свойства, связанные с суммированием матриц непосредственно вытекают из определения суммы матриц.

1. Для любой матрицы A существует противоположная матрица (– A),

A + (– A) = A – A = 0,

где 0 – матрица, составленная из нулевых элементов.

1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C)
3. λ (A + B) = λ A + λ B
   (λ – произвольное число.)

Свойства, связанные с умножением матриц.
(λ и μ – произвольные числа; A, B и C – матрицы.)

1. λ (AB) = (λ A) B = A (λ B)

1. (AB) C = A (BC)

Предположим, что размерности матриц таковы, что операции умножения соответствующих матриц определены.
Тогда

(AB) C = A (BC).

Доказательство.
По определению, i, j -тый элемент произведения матрицы (A B) и матрицы C равен

Учитывая, что

получаем

Изменим порядок суммирования:

Попарное равенство матричных элементов для произвольных наборов индексов i и j означает равенство матриц.

Свойства, связанные с суммой и произведением матриц
(λ – произвольное число; A и B – матрицы.)

1. A (B + C) = AB + AC

Предположим, что размерности матриц таковы, что соответствующие операции сложения и умножения матриц определены.
Тогда

A (B + C) = AB + AC.

Доказательство.
Рассмотрим элемент, стоящий в i -ой строке и j -ом столбце матрицы A (B + C).

Попарное равенство матричных элементов для произвольных наборов индексов i и j означает равенство матриц.

1. (A + B) C = AC + BC

Предположим, что размерности матриц таковы, что соответствующие операции сложения и умножения матриц определены.
Тогда

(A + B) C = A C + B C.

Доказательство.
Рассмотрим элемент, стоящий в i -ой строке и j -ом столбце матрицы (A + B) C.

1. 
   Попарное равенство матричных элементов для произвольных наборов индексов i и j означает равенство матриц.

Пример: Прямым вычислением убедиться в справедливости свойства (AB) C = A (BC), если

и

Решение

Дата добавления: 2014-12-16