КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Матрица перестановок
Блочные матрицы Рассмотрим прямоугольную матрицу A и рассечем ее горизонтальными и вертикальными линиями на блоки Ai j: Здесь Ai 1, Ai 2,..., Ai k,... - матрицы с одинаковым числом строк; A 1 j , A 2 j ,..., Ak j,... - матрицы с одинаковым числом слолбцов. Представленную в таком виде матрицу A называют блочной или говорят, что матрица A разбита на блоки (клетки). Если размеры блоков выбраны такими, что соответствующие матричные операции определены, то действия над блочными матрицами производятся по тем же правилам, что и в случае обычных матриц (с матричными элементами, обозначенными Ai j). Однако следует соблюдать осторожность при выборе порядка сомножителей в произведении блоков из-за некоммутативности операции умножения матриц. Блочная матрица называется блочно диагональной, если она по своему виду совпадает с обычной диагональной матрицей, то есть как если бы блоки Ai j представляли собой обычные матричные элементы. Блочная матрица называется блочно треугольной, если она по своему виду совпадает с обычной треугольной матрицей. Если в единичной матрице изменить порядок расположения строк, то полученная матрица называется матрицей перестановок. Иначе говоря, квадратная матрица, в каждой строке и в каждом столбце которой только один элемент отличен от нуля и равен единице, называется матрицей перестановок. Непосредственным вычислением легко проверяются следующие свойства матрицы перестановок.
Пусть, например, пятой строкой матрицы перестановок является строка вида (0, 1, 0, 0,..., 0). Тогда результатом умножения этой строки на столбцы прямоугольной матрицы A = || ai j || является вторая строка (a 21 a 22 a 23...) матрицы A, которая располагается в позиции пятой строки результитрующей матрицы.
Таким образом, если в i -ой строке матрицы перестановок P единица расположена в j -ом столбце, то умножение матрицы P слева на матрицу A приводит к перемещению j -ой строки матрицы A в позицию i -ой строки. Аналогично, если в i -ом столбце матрицы перестановок P единица расположена в j -ой строке, то умножение матрицы P справа на матрицу A приводит к перемещению j -го столбца матрицы A в позицию i -го столбца. Если матрицы перестановок P получена из единичной матрицы E перестановкой местами двуз строк (или двух столбцов), то такая матрица называется элементарной матрицей перестановок. Для любой матрицы перестановок P справедливы следующие свойства: где - транспонированная матрица перестановок; E - единичная матрица. Действительно,
Терема 1. Произведение матриц перестановок одного и того же порядка есть матрица перестановок. Терема 2. Матрица перестановок n -го порядка может быть представлена в виде произведения (n - 1) элементарных матриц перестановок. Терема 3. Квадрат элементарной матрицы перестановок есть единичная матрица. Доказательство этих утверждений предоставляется читателю. Примеры матриц перестановок. Элементарные матрицы перестановок: Матрицы перестановок:
Дата добавления: 2014-12-16; Просмотров: 1395; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |