Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

Лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами називається рівняння виду:

, (4)

де – дійсні числа.

Ейлер запропонував шукати частинні розв’язки цього рівняння у вигляді:

, (5)

де , яку треба знайти. Тоді . Підставляючи вирази в рівняння (4), отримаємо:

Так як , тоді . (6)

Якщо буде розв’язком рівняння (6), то функція (5) буде розв’язком рівняння (4). Квадратне рівняння (6) називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння (4).

Для складання характеристичного рівняння (6) достатньо в рівнянні (4) замінити відповідно на

Розв’язавши характеристичне рівняння, знайдемо його корені , а значить, і частинні розв’язки рівняння (4): .

При розв’язуванні характеристичного рівняння можливі три випадки:

1. Корені характеристичного рівняння дійсні і різні: .

– загальний розв’язок рівняння.

2. Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні: .

– загальний розв’язок рівняння.

3. Корені характеристичного рівняння комплексні:

– загальний розв’язок рівняння.

Дата добавления: 2014-12-17