Линейная алгебра

Прямоугольной матрицей называется таблица чисел

,

содержащая m строк и n столбцов.

Числа называются элементами матрицы. Первый индекс i указывает номер строки, в которой расположен элемент, а второй индекс k – номер столбца.

Матрица A называется квадратной матрицей n-го порядка, если m = n.

Квадратная матрица порядка n называется диагональной, если при . Она выглядит следующим образом:

.

Элементы матрицы, для которых i = k, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Диагональная матрица порядка п называется единичной матрицей, если все ее диагональные элементы равны единице :

.

Суммой m ´ n матриц и B = () называется m ´ n матрица с элементами

(1.1)

Произведением m ´ n матрицы A на число называется m ´ n матрица В, для которой

Произведением m ´ n матрицы на матрицу называется матрица С, элементы которой вычисляются согласно следующему правилу: каждый элемент равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В:

(1.2)

При решении многих математических задач возникает необходимость в сопоставлении квадратной матрице некоторого числа, называемого определителем. Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка

.

Определителем (детерминантом) второго порядка матрицы А называется число

.

Определитель обозначается следующим образом:

= .

Для квадратной матрицы третьего порядка определитель вычисляется по формуле

,

.

которая легко записывается с помощью правила треугольников:

Пример. Вычислить определитель по правилу треугольников

. v

Минором элемента определителя n -го порядка называется определитель (n – 1)-го порядка, который получается из вычеркиванием i -й строки и k- го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор , умноженный на :

.

Нетрудно видеть, что знаки, которые следует ставить перед соответствующими минорами при вычислении алгебраических дополнений, чередуются в шахматном порядке.

Для вычисления определителей второго и третьего порядков существуют простые правила. Приведем теорему, облегчающую процедуру вычисления определителей более высоких порядков.

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения

(разложение по элементам k -го столбца),

(разложение по элементам i -й строки). p

Пример. Вычислить определитель разложением по элементам первой строки

v

С помощью определителей удобно записывать решение систем линейных уравнений.

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Обозначим через определитель системы D и вспомогательные определители, полученные из D заменой столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной столбцом свободных членов:

(1.3)

(1.4)

Будем считать, что

Решением системы является совокупность значений х, у, z, определяемая так называемыми формулами Крамера:

Рассмотрим систему п линейных уравнений с п неизвестными

Введем соответствующие этой системе матрицы

Тогда систему можно записать в матричной форме

АХ = В.

Для решения матричного уравнения умножим обе части этого равенства слева на некоторую матрицу :

(1.5)

а затем подберем (если это удастся) матрицу так, что

, (1.6)

где Е – единичная матрица.

Тогда из (1.5) сразу получим решение

Матрица , удовлетворяющая условию (1.6), называется обратной матрицей для матрицы А.

Алгоритм построения обратной матрицы:

1) вычислить det A и убедиться в том, что (если det A = 0, обратная матрица не существует);

2) найти транспонированную матрицу А^Т, т. е. матрицу, в которой строки меняются со столбцами (с теми же номерами)

;

3) построить союзную (присоединенную) матрицу путем замены в матрице А^Т каждого элемента его алгебраическим дополнением:

;

4) вычислить обратную матрицу по формуле

Рассмотрим систему линейных уравнений, содержащую m уравнений с n неизвестными

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система линейных уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида.

Будем называть элементарными следующие преобразования:

ü перестановка строк местами;

ü умножение элементов какой-либо строки на одно и то же число, не

равное нулю, и прибавление к соответствующим элементам другой строки.

Дата добавления: 2014-12-17