Отображение. Функция

Понятие соответствия относится к первичным, неопределяемым понятиям математики. Говорят, что между двумя множествами установлено соответствие, если определено правило, по которому для каждого элемента одного множества выбирается определенный элемент или подмножество элементов другого множества. При этом допускается, что некоторым элементам первого множества может соответствовать пустое подмножество.

Пример. Пусть множество А – перечень размеров обуви от 35 до 45, В – множество студентов МГУКи. Тогда между А и В можно установить соответствие, при котором для каждого элемента А выбирается один, ни одного или совокупность(подмножество) элементов.

На основе понятия соответствия между множествами вводится понятие отображения множеств. При этом различают отображение множества «в» множество и отображение множества «на» множество.

Соответствие, при котором каждому элементу множества А отвечает единственный элемент множества В, называется отображением множества А в множество В.

Пример. Поставим в соответствие каждому слову некоторого словаря его заглавную букву. Такое соответствие определяет отображение множества слов словаря в множество букв алфавита.

Соответствие, при котором каждому элементу множества А отвечает единственный элемент множества В и, кроме того, каждому элементу множества В отвечает хотя бы один элемент множества А, называется отображением множества А на множество В.

Пример. Поставим в соответствие каждому трехзначному числу цифру его десятков. Такое соответствие определяет отображение множества трехзначных чисел на множество В= .

Отображения множеств обычно обозначают буквами f, g, h,…

и пишут .

Если при отображении f элементу соответствует элемент , то элемент b называют образом элемента а, элемент а называют прообразом элемента b и пишут.

.

Отображение f называют обратимым, если из условия вытекает , т.е. разным прообразам соответствуют разные образы. В этом случае каждый образ y имеет единственный прообраз x и можно определить отображение , называемое обратным к отображению f. Обратное отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами А и , т.е. такое соответствие, при котором каждому элементу множества А соответствует единственный элемент множества и каждому элементу множества соответствует единственный элемент множества А. Взаимно однозначное отображение называют также биекцией.

Отображение f называют функционалом, если множество В является множеством действительных чисел (B=R).

Пример. А – множество участков дорог на трассе. В – значения допустимой скорости.

Отображение f называют оператором. Если множества А и В – любой природы.

Пример. Каждому взрослому человеку соответствует свой ИНН.

Если же и множество А – числовое, то отображение f называют функцией. В частности, если , то говорят о функции одной переменной x. Множество принято обозначать и называть областью значений функции.

Пример. Элементарные функции являются числовыми функциями: .

Если (n-мерное пространство), то говорят о функции n переменных . В этом случае .

Задачи.

1. Изобразить отношение. Указать, является ли данное отношение функцией.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

2. Привести примеры функционала и оператора.

Глава 2. Математическая логика

Дата добавления: 2014-11-29