Основное уравнение динамики точки

Основное уравнение динамики материальной точки представляет собой не что иное, как математическое выражение второго закона Ньютона:

, (4.14)

где сила в общем случае является суммой ряда сил, действующих на материальную точку.

Уравнение (4.14) есть, это по существу дифференциальное уравнение движения точки в векторном виде. Его решение - основная задача динамики материальной точки. При этом возможны две противоположные постановки задачи.

Первая задача. Найти закон действующей на точку силы , если известны масса т точки и зависимость от времени ее радиус-вектора .

Здесь решение задачи сводится к дифференцированию уравнения (4.14).

Задача 4.1

Движение материальной точки массы 0,2кг выражается уравнениями , (t в секундах). Определить проекции силы, действующей на точку, в зависимости от ее координат.

Решение. Записываем дифференциальные уравнения движения точки:

Вычисляем требующиеся производные:

Теперь можно определить искомые проекции силы:

= - 0,2 * 4 * 3,14² * 0,01х = - 0,0789 х (Н),

= - 0,2 * 3,14² * 0,01у = - 0,0197 у (Н),

причем х и у должны быть выражены в метрах.

Вторая задача. Найти закон движения точки, т. е. зависимость от времени ее радиус-вектора , если известны масса т точки, действующие на нее силы и начальные условия - скорость и положение точки в начальный момент времени. Решение задачи сводится к интегрированию по времени.

Задача 4.2

Материальная точка массы т совершает прямолинейное движение под действием силы, изменяющейся по закону. F = F_o cosωt, где F_o и ω - постоянные величины. В начальный момент точка имела скорость . Найти уравнение движения точки.

Решение. В случае прямолинейного движения точки дифференциальное уравнение движения имеет вид:

а начальными условиями в нашей задаче будут: t = 0; х = х₀ = 0; v = dx/dt = v₀.

Имеем

Определяем из начальных условий постоянные C₁ и С₂:

Подставляя найденные значения постоянных в общее решение дифференциального уравнения, находим закон движения точки:

или

Математическая сторона решения этих задач достаточно подробно была рассмотрена в кинематике точки.

В зависимости от характера и постановки конкретной задачи решение уравнения (4.14) проводят или в векторной форме, или в координатах, или в проекциях на касательную и нормаль к траектории в данной точке. Выясним, как записывают уравнение (4.14) в последних двух случаях.

В проекциях на декартовы координаты. Проектируя обе части уравнения(4.14) на оси X, Y, Z, получим три дифференциальных уравнения вида

, , (4.15)

где F_x, F_y, F_z - проекции вектора на оси X, Y, Z.

Необходимо помнить, что эти проекции - величины алгебраические: в зависимости от ориентации вектора они могут быть как положительными, так и отрицательными. Знак проекции результирующей силы определяет и знак проекции ускорения.

Задача 4.3

Небольшой брусок массы т скользит вниз по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен f. Найти ускорение бруска относительно плоскости (эта система отсчета предполагается инерциальной).

Решение Прежде всего, следует изобразить все силы, действующие на брусок. Это сила тяжести , сила нормальной реакции со стороны плоскости и сила трения (рис. 4.4), направленная вверх - в сторону, противоположную движению бруска.

После этого свяжем с системой отсчета «наклонная плоскость» систему координат X,Y, Z. Вообще говоря, систему координат можно ориентировать как угодно, однако во многих случаях (и, в частности, в данном) выбор направления осей диктуется характером движения. В данном случае, например, заранее известно направление движения бруска, поэтому наиболее целесообразно оси координат расположить так, чтобы одна из них совпадала с направлением движения. Тогда задача сведется к решению только одного уравнения (4.15). Итак, выберем ось х, как показано на рис. 4.4, обязательно указав при этом ее положительное направление (стрелкой).

И только теперь можно приступить к составлению уравнений (4.15): слева — произведение массы т бруска на проекцию его ускорения a_x и справа - проекции всех сил на ось х:

.

В данном случае , и , поэтому

.

Так как брусок движется только вдоль оси х, то это значит, согласно второму закону Ньютона, что сумма проекций всех сил на любое перпендикулярное к оси х направление равна нулю. Взяв в качестве такого направления ось Y (см. рис. 4.4), получим

.

В результате

.

Если правая часть этого уравнения окажется положительной, то и , а это значит, что вектор направлен вниз по наклонной плоскости, и наоборот.

В проекциях на касательную и нормаль к траектории в данной точке. Проектируя обе части (4.14) на подвижные орты и (рис. 4.5) и используя полученные ранее выражения (3.10) для тангенциального и нормального ускорений, запишем

(4.16)

где F_τ и F_n - проекции вектора на орты и . На рис.4.5 обе проекции положительные. Векторы и называют тангенциальной и нормальной составляющими силы .

Напомним, что направление орта выбирают в сторону возрастания дуговой координаты s, а направление орта - к центру кривизны траектории в данной точке.

Уравнениями (4.16) удобно пользоваться, если заранее известна траектория материальной точки.

Задача 4.4

Небольшое тело А соскальзывает с вершины гладкой сферы радиуса r. Найти скорость тела в момент отрыва от поверхности сферы, если его начальная скорость пренебрежимо мала.

Решение Изобразив силы, действующие на тело А (это сила тяжести и нормальная сила реакции ), запишем уравнения (3.16) в проекциях на орты и .(рис.4.6):

, (1)

. (2)

Преобразуем первое уравнение к виду, удобному для интегрирования. Воспользовавшись тем,

что , где ds - элементарный путь тела А за промежуток времени dt, перепишем первое уравнение в виде

.

Проинтегрировав это выражение (левую часть - по v от 0 до v правую - по υ - от 0 до υ), найдем

.

Далее, в момент отрыва N = 0, поэтому (2) исходное уравнение принимает вид

,

где v и υ соответствуют точке отрыва. Исключив cos υ из последних двух равенств, получим .

Дата добавления: 2014-11-29