Розв’язання. Поглянемо на вигляд цієї кривої

Розв’язання

Розв’язання

Поглянемо на вигляд цієї кривої.

Параметр буде змінюватися від до . Використавши формулу (3.5), маємо:

кв. од.

Таким чином, площа однієї арки циклоїди втричі більше площі кола, що котиться.

10. Знайти площу, обмежену кардіоїдою ,

.

Наведемо вигляд цієї кривої.

Крива симетрична відносно осі . Обчислимо половину площі і подвоємо результат. Точкам та відповідають значення параметрів .

Для обчислення площі використаємо формулу (3.6).

Обчислимо : .

Тоді

.

Отримаємо: кв. од.

Тепер ознайомимося із цікавими кривими у полярній системі координат.

11. Обчислити площу, обмежену лемніскатою Бернуллі .

Прослідкуємо, як змінюється кут , коли радіус-вектор точки на лемніскаті описує чверть шуканої площі.

При , . Визна-чимо, чому дорівнює кут , коли радіус-вектор дорівнюватиме . Підставляючи в рівняння кривої, отримаємо: , , , звідки .

Таким чином, на чверті площі полярний кут змінюється в межах від до . Тоді за формулою (3.6):

Дата добавления: 2014-11-29