Йлесімдік орташа шама

Үйлесімдік орташа шама – бұл арифметикалық орташа шаманның кері және өзгертілген түрі. Егер өзгермелі қатардың белгілері х мен оның жиілік мәндері f берілген болса, онда арифметикалық орташа шама қолданылады. Ал кейбір жағдайда, керісінше, езгермелі қатардың, белгілері х мен оның жиіліктерінің көбейтіндісі х f беріліп, жиілік мәндері f белгісіз болуы мүмкін, Онда орташа көбейткішті есептеу үшін үйлесімдік орташа шаманы қолдануға болады.

Үйлесімдік орташа шама берілген мәліметтердің экономикалық маңызы мен мәніне, есептеу тәсіліне қарай жай жэне салмакталған болып екі түрге бөлінеді. Егер өзгермелі қатардың белгілері мен жиіліктерінің көбейтіндісі х fбірдей болса немесе бірге тең болса. онда үйлесімдік орташа шаманың жай түрі қолданылады және ол мына формула бойынша есептелінеді:

мұнда, - жай орташа үйдесімдік шама;

- белгілердің жеке сандық мәндерінің кері шамасы;

Берілген деректе салмақтаушы белгісіз, яғнижиілік мәндері f көрсетілмей, белгілердін мәндері мен жиіліктерінің көбейтіндісі х fғана берілетін болса, онда үйлесімдік орташа шаманың салмақталған түрі қолданылады және төменде берілген формула арқылы көрсетіледі:

мұнда: - салмақталған орташа үйлесімдікшама;

Exf - белгілер мен жиілік мәндерінің көбейтіндісіиіңқосындысы;

х - белгілсрдің жеке сандық мэндері;

- жиіліктің жалпы санын есептеу.

Үйлесімдік орташа шаманың формуласын басқа да түрменөрнектеуге болады. Ол үшінбелгілер мен жиілік мәндерінін көбейтіндісін х f = w деп аламыз,онда жиілігіміз - f = w/ х. Енді осы белгілерді арифметикалық орташа шама формуласының орнына қоятын болсақ,онда формула төмендегідей түрге, яғни арифметикалық орташадан үйлесімдік орташаға өзгереді:

Егер орташаның негізгі қатынасының алымының мәндері белгілі, ал бөліммінің мәндері белгісіз болса, онда үйлесімдік орташа шаманың формуласы арқылы есептеледі.

Геометриялық орташа шама өсіңкілік қатарлардыңорташа өсу коэффициентері мен өсу қарқындарын есептеуде пайдаланылады және есептеу тәсіліне карай жай және салмақталған болып екі түрге бөлінеді.

жай түрі, … салмақталған түрі

Шаршылық (квадраттық) орташа шама - орташа шаршылық ауытқуды (а) есептеу үшін қолданылады. Орташа шаршылық ауытқу өзгерменің негізгі көрсеткіштерінің бірі ретінде кейінгі тарауларда қарастырылады. Бұл орташа шама да есептеу тәсіліне қарай жай және салмақталған болып екі түрге бөлінеді.[25]

жай түрі, салмақталған түрі.

4. Мода және медиана

Статистикада осы өзгермелі белгілердің бөлінуін қосымша сипаттайтын, суретіейтін орташа сандық шаманы қ ұрылымдық орта деп атайды. Оған жататыны - мода мен медиана.

Мода деп статистикалық қатарлардың ішінде ең жиі кездесетін белгінің үлкен шамасын айтады, яғни өзгермелі сандык қатарда жиіліктің үлкен мәні жаткан белгіні мода деп атайды. Мысалы, кәсіпорындағы жұмысшылардын орташа айлық еңбекақысын, базарға сатылған тауардың орта бағасын немесе халықтың көп тұтынатын аяқ киімдерінің өлшемін анықтау ушін модалық орташа шаманы қолданамыз.

Егер статистикалық қатарлар белгілерінің ең үлкен жиілік мәні екі сандық көрсеткішпен берілсе, онда модалық белгі екеу болады. Ал, жиілік мәндері бірдей бірнеше белгі берілетін болса, онда модалық көрсеткіш болмайды.

Кейде, қатар белгілері бүтін сан емес, деңгей аралықты шамамен берілуі мүмкін. Олай болса. алдымен ең үлкен жиілік мәні бар қатарды анықтаймыз, содан кейін модалық белгінің денгей аралығынын айырмасын есептейміз_; ол модалык қатардың үлкен мәнінен кіші мәнін алғанға тең болады. Енді статистикалык формуланы қолдану арқылы модалық орташа шаманы есептеп табамыз.

Статистикада мода М_о - әрпімен белгіленеді және деңгей аралықты қатар берілген болса, төмендегі формула арқылы есептеледі:

мұнда х_MO - модалық қатардың деңгей аралығының кіші мәні;

d_мо - модалық қатардың деңгей аралығының айырмасы;

f_мо - модалық қатардың жиілігі;

- модалық қатардың алдыңғы қатар жиілігі;

- модалық қатардан кейінгі қатар жиілігі.

Модалық орташа ең көп жиілік бойынша анықталады. 7.2 кесте мәліметтері бойынша модалық орташа шаманы есептейміз, млн. тенге:

Яғни, негізгі өндірістік қорлардың құны бойынша аудандағы шағын кәсіпорындардың модалық орташа шамасы 18,33 млн. теңгеге тең болады.

Мода статистикалык тәжірибеде тұтынушылардың сұранысы, бағаларды тіркеуде және с.с. құбылыстарды зерттеуде кеңінен қолданылады.

Медиана деп статистикалық өзгермелі қатардың ортасында жатқан белгіні айтады. Медиана статистикалық қатарларды теңдеп етіп екіге бөледі және оның екі жағында (жоғары және төмен) жатқан белгілердің сандық бірліктері бірдей болады,

Статистикада медиана Ме - әрпімен белгіленеді және оны есептеп табу берілген сандық белгілердің мәніне байланысты.

Кесте 2. - Негізгі өндірістік корлардың күны бойыншааудандагы шағын кәсіпорындардың бөлінуі.

НӨҚ-дың кұны бойынша кәсіпорындардың топталуы	Кәсіпорындар саны, f	Аралықтардың ортасы, X
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24			-2 -1 0 1 2	-4 -6
Барлыгы		-	-

Егер статистикалық қатарлардың белгісі бүтін сан шамасында берілетін болса, онда медиананының нөмірін анықтау үшін белгінің рет санына 1-ді қосып, одан шыққан қосындыны екіге бөлеміз. Ол мына формула арқылы есептелінеді:

Мұнда, п - статистикалық қатарлар саны.

Мысалы, 2004 ж. мамыр айында фирманың 11 жұмысшының еңбек ақысы бойынша көрсеткіштер төмендегі қатарды құрды десек, мың теңгеде:

15,0; 16,5; 17,0; 18,0; 19,0;20,5; 21,0; 22,0: 23,4; 24,0; 26,5.

Медиананың нөмірі тақ көлемдер үшін төмендегі формула бойынша есептеледі:

Демек, тақ қатарды теңдей етіп 2-ге бөледі. Біздің мысалымызда медиана нөмірі 6-ға тең, яғни, ол алтыншы қатарда жатыр деген ұғым және медиана 20,5 мын теңгеге тең, яғни жұмысшылардың жарымы мамыр айында 20,5 мың теңгеден аз еңбек акы алса, ал баска жарымы 20,5 мың теңгеден артық алды.

Егер осы берілген көрсеткіштер жұп қатардан тұратын болса. онда медиана тең ортада жатқан екі белгінің қосындысының жартысына тең болады.

Мұнда - медианалық катардың деңгей аралығының кіші мәні;

- медиаяналық катардың деңгей аралығының айырмасы;

- медианалық катардың алдынғы қатардағы жинақталған

жиілік қосындысы;

- медианалық деңгей аралығының жиілігі.

7.2 кесте мәліметтері бойынша медиананың мәнін есептейміз, млн. тенге. Алдын медианалық деңгей аралығын анықтаймыз. Мұндай деңгей аралық болып аудандағы шағын кәсіпорындардың негізгі қорлары (18 - 20 мың тг.) болған қатар алынады, себебі олардың кумулятивтік жиілігі 18 (2 + 6 + 10)-ге тен және ол, барлық жиіліктердің жиынтықтарының жарымынан асады (25: 2 = 12,5). Деңгей аралығының төменгі шегі 18,0 млн.тг., оның жиілігі 10; оған дейінгі жиынтық жиілік 8-ге тең.

Есептеу нәтижесі бойынша алынған медиана мәні аудандағы 25 шағын кәсіпорынның 12-сінің негізгі өндірістік қоры 18,0 млн. теңгеден аз, ал 12 кәсіпорынның қоры ол шамадан жоғары екендігін көрсетеді.[26]

Өзін өзі бакылау үшін сұрақтар

1.Орташа шаманы есептегенде қолданылатын принииптер мен шарттар.

2. Орташа шамалардың жай және салмакталған түрлеріне түсінік.

3. Дәрежелі және құрылымдық орташа шамалар дегеніміз не?

Семинар сабағы сұрақтары

1 Орташа шамалар: арифметикалық, үйлесімдік, геометриялық және шаршылык орташа шамаларға есеп шығару.

2. Мода және медиананы есептеп анықтау және талдау.

Лекция 9. Өзгерменің көрсеткіштері

1. Статистикалық өзгермеге түсінік және өзгерменің өрісі

2. Өзгерменің көрсеткіштері және өны есептеу тәсілдері

3. Шашыранды: анықтамасы және рөлі

4. Шашырандының түрлері және қосу ережесі

1. Статистикалық өзгермеге түсінік және өзгерменің өрісі

Статистикалық өзгерме деп жиынтық бірліктердің белгілеріне түрлі себептердің әсер етуінен болған сандық өзгерісті айтады. Мұны бір белгінің сан мөлшерінің өзгермелілігі, құбылмалығы деп атауға да болады.

Көрсеткіштер жүйесінің ауытқу шамасының қаншалықты екенін анықтау үшін өзгерменің негізгі көрсеткіштер есептеледі. Олар мыналар: өзгерменің өрісі, орташа сызықтық ауытқу шашырандылық, орташа шаршылық ауытқу және өзгерменің коэффициенті. Коэффициенттен бөлек өзгерменің басқа көрсеткіштері сол берілгнен белгілердің өлшем бірлігімен өлшенеді.

Статистикалық сандық қатардың негізгі көрсеткіштерінің ішіндегі ең жай түрі, яғни белгілердің бір-бірінен сандық шамамен қаншаға өзгергендігін көрсететін көрсеткіш өзгерменің өрісі болып саналады.

Өзгерменің өрісі деп – сандық қатар белгілерінің ең үлкен және ең кіші мән шамаларының арасындағы айырмашылықты айтады. Ол осы екі шеткі шаманың айырмасын көрсетеді. Статистикада өзременің өрісі R әрпімен белгіленеді және төмендегі формуламен есептеледі.

R = X_көп – Х_аз

Мұнда, X_көп - сандық қатар белгілерінің үлкен мәні,

Х_аз – сандық қатар белгілерінің кіші мәні.

Бірақ бұл көрсеткіштің өзіне тән кейбір кемшіліктері де кездеседі. Өзгерменің өрісі белгінің ең шеткі екі сандық мәні бойынша есептелгенімен, оның ішкі құрылымындағы өзгерістер мен ауытқушылық көрсетілмей қалып қояды. Сонымен қатар сандық қатардың жиілік көрсеткіштері де есепке алынбайды. Сол себептен зерттеу кезінде орташа шамамен қатар жеке бірліктердің жиынтық көрсеткіштерінің өзгермелілігі, құбылмалығын қарастыруда орташа сызықтық ауытқу, шашыранды және орташа шаршылық ауытқу сияқты өзгерменің негізгі көрсеткішітері қолданылады.[27]

2. Өзгерменің көрсеткіштері және өны есептеу тәсілдері

Орташа сызықтық ауытқуды ауытқудың нақты абсолюттік

арифметикалық орташа шамасы деп те атайды. Яғни орташа сызықтық ауытқу деп әрбір белгінің (х)жеке мәнінен арифметикалық орташа шаманың () алып, одан шыққан ауытқу қосындысы белгі санын – (n) ге бөлгеннен немесе әр қатардағы ауытқу көрсеткіштерін жиіліктеріне (f) көбейтіп, ал оның қосындысын сол жиіліктің жалпы жиынтығы –ге, бөлгеннен шыққан шаманы айтады. Бұл орташа сызықтық ауытқуды жай және салмақталған тәсілмен есептеу болып саналады.

Статаистикада орташа сызықтық ауытқу әрпімен белгіленеді және

мына формуламан есептелінеді:

жай түрі, салмақталған түрі,

мұнда х – белгілердің жеке сандық мәні

- белгілердің орташа шамасы;

n – белгілердің саны;

f – жиілік көрсеткіштердің мәндері

Σ– жинақтау белгісі.

Орташа шаршылық ауытқу деп шашыранды көрсеткіштерін түбірлеуді айтады. Оны сигма әрпімен белгілейді және төменде берілген формула бойынша есептейді:

жай түрі, салмақталған түрі

Шашыранды мен орташа шаршы ауытқу өзгермелі қатарлар белгілерінде және арифметикадлық орташа шамада берілген атаулы өлшем бірлігімен өлшенеді.

Өзгерменің коэффиценті дегеніміз орташа шаршы ауытқу көрсеткішін арифметикалық орташа шамаға бөлу. Статистикада ол латынның V әрпімен белгіленеді және мына формула арқылы есептелінеді:

Мүнда - орташа шаршылық ауытқу;

- арифметикалық орташа шама.

Өзгерме коэффицентінің өлшем бірлігі процентпен беріледі және ол неғұрлым кіші болса, соғырлым орташа шама біріңғай жиынтық құбылысын нақтылы сипаттайды.[28]

3. Шашыранды: анықтамасы және рөлі

Шашыранды немесе диcперсия деп әрбір қатардағы белгінің (х) жеке

мәнінен арифметикалық орташа шаманы () алғандағы айырмаларды (x- және бір біріне қосып одан шыққан ауытқу қосындыны белгі санын (n) ге бөлгеннен, немесе дәрeжеленген ауытқу көрсеткіштері жиіліктеріне

(f) көбейтіп, оның қосындысын сол жиіліктің жалпы жиынтығы (f)ге бөлгеннен шыққан бөліндіні айтады.

Шашырандының анықтамасын қысқарған түрде былай айтуға болады: орташа сызықтық ауытқудың алымындағы жақша ішіндегі көрсекіштерді дәрежелеу.

Статистикада шашыранды гректің ² сигма шаршы - әріпімен белгіленеді және мына формула бойынша есептелінеді:

жай түрі, салмақталған түрі

Статистикалық жиынтықтардың өзгермелі, құбылмалы белгілеріне түрлі себептер әсерін тигізеді. Олар өздерінің тигізетін әсерлеріне қарай кездейсоқ және тұрақты болып екіге бөлінеді. Соған сәйкес өзгерме де кездейсоқ және тұрақты болуы мүмкін. Бірақ оларды бір бірінен ажырата білуіміз және жалпы өзгермедегі атқаратын ролін анықтауымыз қажет. Жалпы статистикалық көрсеткіштерге талдау жасау кезінде қорытындылаушы өзгерме көрсеткіштерініңішінде жиі қолданылатын түріне жататыны шашыранды болып саналады.[29]

4.Шашырандының түрлері және қосу ережесі

Статистикада біртнктес өзгерме көрсеткіштерінің бір немесе бірнеше топтарға бөлінуіне байланысты шашыранды да үш түрге бөлінеді: жалпы, топаралық және топтық немесе топішілік.

Жалпы шашыранды (σ² ) – жалпы өзгермелі жиынтық белгілеріне әсерін тигізетін барлық жағдайлар мен себептерді сипаттайды және мына формула бойынша есептеледі:

жай түрі,

салмақталған түрі.

Топаралық шашыранды (σ² ) – деп жеке топтық орташа шаманың жалпы жиынтықты орташа ауытқуын айтады және ол мына формула бойынша есептеледі:

жай түрі, салмақталған түрі.

Мұнда, - әр топтың орташа шамасы

- жалпы жинақтың орташа шамасы

n-топтардың саны

- әр топтың жиілігі

i- Рет саны 1, 2, 3,...т.б.

Топаралық шашыранды өзгерме белгілеріне әсерін тигізетін тұрақты себептерді көрсетеді. Мұнда топтау негізінде әсерін тигізетін тұрақты себептердің өзгергендігі қарастырылады. Яғни, жалпы жиынтықтың өзіне тән өзгермелі белгілері бойынша жеке топтарға бөлінуін анықтайды.

Топтық (топішілік) шашыранды немесе орташа топтық шашыранды ( және
) деп әрбір топ бойынша кездейсоқ себетердің тигізген әсерінен оның өзгергендігін және мәні мен маңызын анықтауды айтады.

Орташа топтық шашыоандыны топтау негізіндегі себептерден бөлек басқа себептердің әсер етуінен кездейсоқ өзгергендігі көрсетіледі. Оны есептеу үшін алдымен әрбір топ бойынша топтық шашыранды () содан соң осы көрсеткіштер арқылы орташа топтық шашыранды есептелінеді және оны есептеу үшін мына формула қолданылады.

Онда орташа топтық шашыранды мына формула бойынша есептелінеді:

Мұнда,

- топтық (топішілік) шашыранды

- орташа топтық шашыранды

- орташа топтық шама

- әр топтың жиілігі

i- рет саны 1,2,3...т.б.

Математикалық статистикада жалры шашыранды σ² әрқашанда топаралық шашыранды(δ ² ) мен орташа топтық шашыранды шамаларының қосындысына тең болады. Және көрсетіледі:

Мұны шашыранды қосындысының ережесі деп те атайды. Бұл ереженің өзіне тән ілімдік және тәжіриебелік маңызы мынады: біріншіден, егер жоғарыда берілген теңдестіктің екі шамасы белгілі болса, онда белгісіз шаманы анықтауға немесе есептелген көрсеткіштердің дұрыстығын тексеруге болады:

немесе

Екіншіден, бұл ереженің маңызды болып саналатыны сонда, егер жалпы шашыранды мен топаралық шашыранды есептелген болса, онда топтау белгісінің әсерін тез анықтай аламыз. Үшіншіден, топтық шашыранды жалпы шашырандыдан әрдайым кіші болады σ². Себебі, жеке жиынтық бірліктері жалпы жиынтық бірліктерімен салыстырғанда біртекті болып келеді.

Егер топаралық шашырандыны жалпы шашырандыға бөлетін болсақ, онда одан шыққан көрсеткішті төмендеу (детерминация) коэффициенті деп атайды. Статистикада оны гректің η² (эта) – әрпімен белгілейді және төменде берілген формула арқылы есептеледі.

Егер осы берілген формуланы шаршы түбірге алатын болсақ, онда корреляциялық қатыстылық анықталады ) және топтық пен қорытындылаушы белгілердің арасындағы тағыз байланысты байқауға мүмкіндік туады, яғни топтық белгілердің қорытындылаушы белгілерге әсерін тигізуін сипаттайды.[30]

Тақырып 7. Ішінара бақылау

Дата добавления: 2014-12-07