Вероятностные выборки

В теории выборочных обследований рассматриваются выборки, извлеченные из совокупностей (основ выборки), содержащих некоторое конечное число единиц N. Эти единицы различимы между собой и число различных выборок объема n, которые могут быть извлечены из списка N единиц, равно числу сочетаний .

В выборочных статистических обследованиях в целях расчета параметров совокупности основное внимание направлено на изучение определенных свойств единиц, которые измеряются и фиксируются в процессе наблюдения для каждой единицы, включенной в выборку. Эти свойства называют признаками.

Хотя выборка используется для многих целей, обычно представляют интерес четыре характеристики совокупности:

среднее значение признака (например, среднее число занятых на одном предприятии);

суммарное значение признака (например, выпуск продукции предприятиями промышленности);

отношение двух суммарных или средних значений (например, отношение стоимости ликвидных активов к общей стоимости активов);

доля единиц в совокупности, относящихся к некоторой определенной группе (например, доля промышленных предприятий, оказывающих платные услуги населению) или обладающих определенным значением признака.

Главным вопросом методологии выборочного наблюдения является обеспечение приемлемого уровня ошибок получаемых значений характеристик совокупности, в том числе по требуемым разрезам, например, отраслям экономики, формам собственности и регионам России.

Полученные в результате выборочного наблюдения характеристики практически всегда несколько отличаются от характеристик генеральной совокупности. Эти отличия называются ошибками выборки (или репрезентативности), которые могут быть систематическими или случайными.

Систематические ошибки имеют место в том случае, когда нарушен принцип случайности отбора и в выборку попали единицы, обладающие какими-либо свойствами, не характерными для всех единиц генеральной совокупности. Случайные ошибки обусловлены тем обстоятельством, что даже при тщательной организации выборка не может в точности воспроизвести генеральную совокупность. В отличие от ошибок систематических, случайные ошибки являются вполне допустимыми, если они малы и могут быть оценены статистически.

Для измерения ошибки выборки, а также сравнения двух оценок, т.е. выявления более эффективной оценки, используют средний квадрат ошибки оценки (СКО), который измеряет ошибку относительно оцениваемого параметра совокупности:

где E	-	символ, заменяющий выражение "математическое ожидание величины";
		оценка некоторой характеристики совокупности , получаемая согласно некоторой схеме отбора и примененной формуле оценивания;
		математическое ожидание - среднее значение, взятое по всем возможным выборкам;
	-	смещение оценки;
	-	дисперсия оценки.

Таким образом, СКО является критерием достоверности оценки, который характеризует величину отклонений от истинного значения характеристики совокупности .

Поскольку на практике трудно проследить, чтобы оценки не давали никаких смещений, для характеристики оценки используется понятие "точности", относящееся к величине отклонений от усредненного значения .

Степень точности оценки обычно характеризуется ее дисперсией, стандартной ошибкой, коэффициентом вариации (относительной стандартной ошибкой) и доверительным интервалом.

Точность какой-либо оценки, полученной по выборке, зависит от двух факторов: от способа, которым оценка вычисляется по данным выборки, и от способа формирования самой выборки.

В выборочных обследованиях способ оценивания называется состоятельным, если оценка становится в точности равной оцениваемому параметру для совокупности при n = N, т.е. когда выборку составляет вся совокупность. Очевидно, что при простом случайном отборе выборочное среднее и произведение представляют собой состоятельные оценки соответственно среднего и суммарного значений для совокупности.

В данном контексте способ оценивания называется несмещенным, если среднее значение оценки, взятое по всем возможным выборкам данного объема n, в точности равно истинному значению для совокупности, и это утверждение справедливо для любой конечной совокупности значений и для любого n. Например, при простом случайном отборе выборочное среднее - несмещенная оценка среднего значения признака, - несмещенная оценка суммарного значения Y для совокупности, где - среднее значение признака по выборке.

В теории и практике выборочных обследований часто приходится рассматривать смещенные оценки. Это обусловлено следующими причинами. Во-первых, в некоторых случаях, особенно при оценивании отношений двух величин, смещенные оценки дают более достоверные результаты, чем несмещенные. Во-вторых, даже в случае использования теоретически несмещенных оценок ошибки наблюдения и неполучение ответов от респондентов могут привести к смещениям в распространенных результатах.

Кратко опишем некоторые, наиболее часто используемые в статистической практике способы формирования вероятностной выборки.

Простой случайный отбор. Простым случайным отбором называется способ, при котором извлечение единиц из совокупности для обследования осуществляется методом жеребьевки или с использованием таблиц или генератора случайных чисел без деления этой совокупности на какие-либо классы или группы.

Простую случайную выборку получают, отбирая последовательно единицу за единицей. Единицы в совокупности нумеруются числами от 1 до N, после чего выбирается последовательность n случайных чисел, заключенных между 1 и N. Единицы совокупности, имеющие эти номера, составляют выборку. На каждом этапе отбора такой процесс обеспечивает для всех еще не выбранных номеров равную вероятность быть отобранными. Легко показать, что равную вероятность быть отобранными имеют все возможных выборок.

Уже отобранные номера исключаются из списка, иначе одна и та же единица могла бы попасть в выборку более одного раза. Поэтому такой отбор называется отбором без возвращения. Отбор с возвращением легко осуществим, но им, за исключением особых случаев, пользуются редко, поскольку нет особых оснований допускать, чтобы одна и та же единица встречалась в выборке дважды.

При простом случайном отборе для получения выводов о параметрах совокупности используют выборочное среднее в качестве оценки среднего значения признака совокупности, а дисперсию признака по выборке - для оценки дисперсии признака совокупности. Для простой случайной выборки усредненные выборочные средние и дисперсии точно равны среднему и дисперсии признака совокупности.

Таблица 2

Дата добавления: 2014-12-07