Применение определителей

Миноры и алгебраические дополнения

Пример.

Квадратной матрице

(4)

n -го порядка соответствует определитель, имеющий порядок n:

(5)

являющийся самостоятельным объектом изучения.

Минором M_ij элемента a_ij определителя (5) называется определитель (n – 1) порядка, получающийся из определителя (5) вычеркиванием i -й строки и j -го столбца, на пересечении которых находится этот элемент a_ij. Алгебраическим дополнением элемента а_ij определителя (5)называется число

A_ij = (–1) ^i+j · M_ij .

Определитель находится по формуле

При этом i — любое из чисел 1, 2,…, n.

Пример. Пусть дан определитель .

Тогда

Теорема 1. Векторы тогда и только тогда образуют базис пространства Rⁿ, когда определитель , образованный из координат этих векторов, отличен от нуля.

Матрица В называется обратной матрицей по отношению к матрице А (4), если их произведение равно единичной матрице:

АВ = ВА = Е.

Для матрицы В, обратной по отношению к А, существует специальное обозначение A ^–1.

Теорема 2. Квадратная матрица (4) тогда и только тогда имеет обратную, если ее определитель (5) отличен от нуля.

Справедлива следующая формула для нахождения обратной матрицы:

(6)

Пример. Пусть

Матрица А имеет обратную:

.

Тогда

Дата добавления: 2014-12-08