Вычисление определенного интеграла методом подстановки

Вычисление определенного интеграла методом подстановки состоит в следующем:

1 часть подынтегральной функции заменить новой переменной;

2 найти новые пределы определенного интеграла;

3 найти дифференциал от обеих частей замены;

4 все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);

5 вычислить полученный определенный интеграл.

Пример 5. Вычислить интеграл: .

Р е ш е н и е. Введем подстановку , тогда . Определим пределы интегрирования для переменной . При получаем: , при получаем .

Выразив подынтегральное выражение через и и перейдя к новым пределам, получим:

Пример 6. Вычислить интеграл:

Решение. Произведем подстановку , тогда

Определим пределы интегрирования для переменной.

При получаем , при получаем .

Выразив подынтегральное выражение через и и перейдя к новым пределам, получим:

Пример 7. Вычислить интеграл: .

Р е ш е н и е. Положим , тогда и . Определим пределы интегрирования для переменной .

Выразив подынтегральное выражение через и и перейдя к новым

пределам, получим:

Пример 8. Вычислить интеграл: .

Р е ш е н и е.

Пример 9. Вычислить интеграл: .

Р е ш е н и е. Сначала преобразуем подынтегральное выражение:

.

Затем вычислим интеграл от разности функций, заменив его разностью определенных интегралов от каждой функции:

.

Вычислим каждый интеграл отдельно:

Тогда

Приложения определенного интеграла

Понятие определенного интеграла широко применяется для вычисления различных геометрических и физических величин.

Рисунок 14 Рисунок 15

П л о щ а д и п л ос к и х ф и г у р. Площадь криволинейной трапеции (рисунок 14), ограниченной графиком непрерывной функции

(где ), отрезком оси и отрезками прямых и , вычисляется по формуле: , где .

Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой , осью и прямыми и (рисунок 15).

Р е ш е н и е. Применяя формулу (1), получаем ; кв.ед.

Пример 11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми , и осью абсцисс (рисунок 16).

Рисунок 16 Рисунок 17

Р е ш е н и е. Применяя формулу (1), получаем: ; кв.ед.

Площадь фигуры ABCD (рисунок 17), ограниченной графиками непрерывных функций и (где ) и отрезками прямых и , вычисляется по формуле: , где .

Пример 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой и осью (рисунок 18).

Р е ш е н и е. Найдем пределы интегрирования, т. е абсциссы точек пересечения графиков функций: и (ось ). Для этого решим систему .

Имеем .

Теперь найдем искомую площадь по формуле (1):

кв.ед.

Рисунок 18 Рисунок 19

Пример 13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и (рисунок 19).

Р е ш е н и е. Найдем пределы интегрирования, т. е. абсциссы точек пересечения графиков функций и . Для этого решим систему .

Имеем .

Искомую площадь вычисляем по формуле (2) при :

кв.ед.

Пример 14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами и (рисунок 20).

Р е ш е н и е. Найдем пределы интегрирования, т. е. абсциссы точек пересечения графиков функций и . Для этого решим систему .

Имеем

Искомую площадь вычисляем по формуле (2):

кв.ед.

Рисунок 20 Рисунок 21

Дата добавления: 2014-12-27