Понятие о дифференциальном уравнении

Дифференциальные уравнения

4.1 Методические указания по теме «Дифференциальные уравнения»

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию, ее производную (или дифференциал аргумента и дифференциал функции).

Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка. Общий вид такого уравнения , где – искомая неизвестная функция – ее производная по , а – заданная функция переменных .

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция от и произвольной постоянной , обращающая это уравнение в тождество по .

Общее решение, записанное в неявном виде , называется общим интегралом.

Частным решением уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении , где – фиксированное число.

Частным интегралом уравнения называется интеграл, полученный из общего интеграла при фиксированном значении .

График любого частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению (и общему интегралу) этого уравнения соответствует семейство интегральных кривых, зависящих от одного параметра.

Задача нахождения частного интеграла дифференциального уравнения - го порядка , удовлетворяющего начальным условиям вида , называется задачей Коши.

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка состоит в том, чтобы найти решение, удовлетворяющее начальному условию . Другими словами, из всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения требуется выделить ту, которая проходит через данную точку .

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Общий вид такого уравнения:

где – функции только от – функции только от .

Поделив обе части уравнения на произведение , получим уравнение с разделёнными переменными:

.

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

.

З а м е ч а н и е. Если произведение при и , то эти функции и являются решениями дифференциального уравнения при условии, что при этих значениях и уравнение не теряет числового смысла. Геометрически эти решения представляют собой прямые, параллельные осям координат.

Пример 1. Решить уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее условию при .

Р е ш е н и е. Это уравнение с разделёнными переменными. Интегрируя, находим общее решение уравнения:

.

Для получения более простого по форме общего решения постоянное слагаемое в правой части представлено в виде . Тогда .

Подставив в общее решение значения и , получим , откуда .

Итак, частное решение уравнения, удовлетворяющие данному условию, имеет вид .

Пример 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения .

Р е ш е н и е. Так как , то , откуда .

Разделим обе части уравнения на произведение :

.

Преобразуем дробь:

.

Тогда:

.

Интегрируя, находим:

, ,

, .

Для облегчения потенцирования и получения более простого по форме общего решения постоянное слагаемое в правой части представлено в виде . После потенцирования получим:

откуда , или , где .

Произведение при и при . При этих значениях и дифференциальное уравнение не теряет числового смысла, поэтому и – решение уравнения, но решение входит в решение при .

Значит, решения уравнения имеют вид и .

Пример 3. Решить уравнение:

. Найти частное решение, удовлетворяющие условию при .

Р е ш е н и е. Разделим каждый член уравнения на произведение:

: .

Интегрируя, находим:

После потенцирования получим: , или , где . Отсюда .

Произведение при ; так как при этом значении дифференциальное уравнение не теряет числового смысла, то – решение уравнения. Но оно входит в интеграл при .

Значит, общий интеграл уравнения имеет вид: .

Подставив в общий интеграл значения и , получим , откуда . Итак, частный интеграл уравнения, удовлетворяющий данному условию, имеет вид: .

Дата добавления: 2014-12-27