Алгоритм розрахунку

Суть алгоритму.

З першого рівняння відома залежність від , згідно другого залежить від і , тобто враховуючи перше рівняння може бути виражене лише через . Виражаючи послідовно через дійдемо до необхідності виразити з останнього рівняння через . Проте так як в останньому рівнянні не існує, ми зразу отримаємо чисельне значення . Після знаходження зворотною підстановкою знаходять всі через .

Докладніше:

З першого рівняння

, де (5)

Підставимо в друге рівняння

,

де .

Аналогічно, підставивши в третє рівняння отримаємо залежність для і так далі до . У загальному вигляді

(6)

де (7)

Для останнього рівняння, маючи з передостаннього отримаємо

чи

(8)

Оскільки знайдений, то зворотною підстановкою за формулою (6) можна знайти

1) обчислюємо по (5)

2) знаходимо по (7)

3) знаходимо і вважаємо по (8)

4) визначаємо для по (6).

6. ІТЕРАЦІЙНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ СИСТЕМ РІВНЯНЬ

Метод простої ітерації.

Для системи рівнянь

чи у векторному вигляді (1)

Нехай діагональні коефіцієнти .

Вирішимо перше рівняння відносно , друге – , і так далі. Отримаємо еквівалентну систему.

(2)

де при і при (3)

Оберемо довільно початкове наближення коренів

(4)

намагаючись, звісно, щоб вони певною мірою відповідали шуканим невідомим .

У якості початкового наближення можна взяти, наприклад, стовпчик відповідних членів

(4').

Знайдемо перше наближення системи за формулами (2)

чи

,

Друге наближення знаходять аналогічно:

,

Якщо відомо k -е наближення коренів, то (k + 1)-е знаходиться аналогічно

, .

Якщо послідовність наближень має границю

то ця границя є рішенням системи (2).

На практиці розрахунок наближень виконується до тих пір, поки буде виконуватись умова

ε – попередньо завдане мале число.

Дата добавления: 2014-12-23