КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Метод половинного деления. Задача уточнения корня уравнения с точностью , отделенного на отрезке [a;b], состоит в нахождении такого приближенного значения корня
Уточнение корней Задача уточнения корня уравнения с точностью , отделенного на отрезке [a;b], состоит в нахождении такого приближенного значения корня , для которого справедливо неравенство . Если уравнение имеет не один, а несколько корней, то этап уточнения проводится для каждого отделенного корня. Пусть корень уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a;b], то есть на этом отрезке имеется единственный корень, а функция на данном отрезке непрерывна. Метод половинного деления позволяет получить последовательность вложенных друг в друга отрезков [a1;b1], [a2;b2], …,[ai;bi],…, [an;bn], таких что f(ai).f(bi) < 0, где i=1,2,…,n, а длина каждого последующего отрезка вдвое меньше длины предыдущего: Рис.6.2.3-1
Последовательное сужение отрезка вокруг неизвестного значения корня обеспечивает выполнение на некотором шаге n неравенства |bn - an| < e. Поскольку при этом для любого хÎ[an;bn] будет выполняться неравенство | - х| < , то с точностью любое может быть принято за приближенное значение корня, например его середину отрезка В методе половинного деления от итерации к итерации происходит последовательное уменьшение длины первоначального отрезка [a0;b0]в два раза (рис. 6.2.3-1). Поэтому на n-м шаге справедлива следующая оценка погрешности результата: ( 6.2.3-1 ) где - точное значение корня, хnÎ [an;bn] – приближенное значение корня на n-м шаге. Сравнивая полученную оценку погрешности с заданной точностью , можно оценить требуемое число шагов: (6.2.3-2) Из формулы видно, что уменьшение величины e (повышение точности) приводит к значительному увеличению объема вычислений, поэтому на практике метод половинного деления применяют для сравнительно грубого нахождения корня, а его дальнейшее уточнение производят с помощью других, более эффективных методов.
Пример 6.2.3-1. Уточнить корень уравнения x3+x-1=0 с точностью =0.1, который локализован на отрезке [0;1]. Результаты удобно представить с помощью таблицы 6.2.3-3. Таблица 6.2.3-3
После четвертой итерации длина отрезка |b4-a4| = |0.688-0.625| = 0.063 стала меньше величины e, следовательно, за приближенное значение корня можно принять значение середины данного отрезка: x = (a4+b4)/2 = 0.656. Значение функции f(x) в точке x = 0.656 равно f(0.656) = -0.062.
Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 1158; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |