Двумерная интерполяция

Пусть функция z=z(x, y) задана таблично на прямоугольной сетке:

(43)

Необходимо проинтерполировать функцию z(x, y) в прямоугольной области x₀ £ x £ x_m; y₀ £ y £ y_m.

Для двумерной интерполяции можно применить методы одномерной интерполяции. Если нам необходимо знать числовые значения z(x, y) при конкретных значениях аргументов x=x_*, y=y_*, то эффективен метод Ньютона. Сначала для каждого фиксированного значения y=y_j () производится одномерная интерполяция по переменной x, в результате которой вычисляются приближенные значения z(x_*, y_j). Теперь функция одной переменной z(x_*, y) интерполируется по y также с использованием формул Ньютона, после чего найдено приближенное значение z(x_*, y_*).

Если же требуется аналитическое выражение интерполяционной функции, то удобнее использовать обобщение интерполяционной формулы Лагранжа:

(44)

где полиномы X_i(x) и Y_j(y) аналогичны функциям (15):

(45)

Если функция задана на нерегулярной сетке z(x_i, y_i)=z_i, то обычно ограничиваются интерполяционным многочленом первой степени

z»a+bx+cy, (46)

коэффициенты которого a, b и c определяются из условий

a+bx_i+cy_i=z_i; i=1, 2, 3. (47)

При этом выбираются три близлежащих узла. Интерполяция (46) распространяется на треугольную область с вершинами в выбранных узлах.

Приведенные здесь алгоритмы и формулы интерполяции легко обобщаются на многомерный случай.

Дата добавления: 2014-12-27