Решение. Линейная система уравнений (2) для определения и в данном случае имеет вид:

Линейная система уравнений (2) для определения и в данном случае имеет вид:

. (3)

Определитель этой системы равен . Решив систему, получим

Следовательно, искомый многочлен имеет вид:

или

3.1.2. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа [8].

Интерполяционный многочлен первой степени (4) мы построили, решая напрямую систему (3) двух уравнений с двумя неизвестными и . Однако решить таким же образом систему (2) при произвольном n очень сложно. Проще это сделать с помощью специальных методов, учитывающих особенности данной задачи. Один из таких методов предложил Лагранж Рассмотрим этот метод.

Представим интерполирующий полином в виде

где – многочлены степени n, «ориентированные» на узлы интерполяции x_i в том смысле, что

Такие многочлены можно представить в виде:

или в развернутом виде:

…,

…,

Из соотношений (5) и (6) следует, что построенный многочлен

действительно является интерполяционным многочленом для функции с узлами интерполяции . Его принято называть интерполяционным многочленом в форме Лагранжа или просто интерполяционным многочленом Лагранжа. В развернутой форме многочлен (8) будет иметь следующий вид:

Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет особенно простой вид, когда узлы интерполяции являются равноотстоящими, т. е. или короче, если для выполняется .

Пример 1. Написать интерполяционный многочлен Лагранжа для функции по ее значениям в трех точках . Вычислить с помощью этого многочлена приближенное значение синуса в точке , сравнить полученный результат с точным значением синуса и определить погрешность.

Дата добавления: 2014-12-27