Решение. Составим таблицу значений синуса в узлах интерполяции : i

Решение.

Составим таблицу значений синуса в узлах интерполяции :

i

Для записи интерполирующего многочлена Лагранжа воспользуемся формулой (8) в ее развернутой форме:

В результате получим

Следовательно, искомый многочлен имеет вид:

Вычислим значение интерполирующего многочлена в точке :

Теперь сравним полученный результат с точным значением синуса в этой точке:

Пример 2. Вычислить, используя интерполяционный многочлен Лагранжа, приближенное значение функции в точке х ^* = 0,5, если задана таблично

i
	-1
		0,25		0,5

Построим интерполяционный многочлен Лагранжа, используя формулу (8). Так как по условию задачи n = 3, то искомый многочлен – многочлен третьей степени:

Учитывая табличные значения и получим:

Поэтому искомый многочлен имеет вид:

Теперь вычислим значение полученного многочлена в точке х ^* = 0,5

Следовательно, .

Ответ. .

3.1.3. Интерполяционный многочлен в форме Ньютона [9].

Интерполяционный многочлен Лагранжа, несмотря на свое изящество, неудобен для вычислений тем, что при увеличении числа узлов интерполяции приходится перестраивать весь многочлен заново.

Перепишем интерполяционный многочлен Лагранжа в эквивалентной форме:

где – многочлен нулевой степени, а – многочлен Лагранжа степени , соответствующий узлам интерполяции .

Обозначим

. (9)

Многочлен имеет степень i и по построению обращается в ноль при , , …, , поэтому его можно представить в виде

,

где А_i – числовой коэффициент при хⁱ. Так как не содержит степень i, то А_i совпадает с коэффициентом при хⁱ в многочлене . Следовательно, в силу (5) и (7) его можно записать в виде

При этом .

Формулы (9) и (10) позволяют написать рекуррентное соотношение для многочлена :

. (11)

Выражая аналогичным образом по индукции через , через и т.д., получим окончательное выражение для многочлена :

. (12)

Представление интерполяционного многочлена в виде (12) называется интерполяционным многочленом в форме Ньютона или просто интерполяционным многочленом Ньютона. Это представление удобно тем, что при увеличении n на единицу требуется добавить к «старому» многочлену только одно слагаемое.

Пример 1. Написать интерполяционный многочлен Ньютона для функции по ее значениям в трех точках

.

Дата добавления: 2014-12-27