КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Лекция 41. Дифференциальные уравнения второго порядка
План: 1. Простейшие дифференциального уравнения второго порядка. 2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Напомним, что дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, наивысший порядок производной или дифференциалов в котором равен двум. Простейшим дифференциальным уравнением второго порядка назовем уравнение вида: . Например, уравнения , - простейшие дифференциальные уравнения второго порядка. Подчеркнем, что в левой части простейшего дифференциального уравнения находится только , а в правой – выражение, содержащее только переменную х. Для решения простейших дифференциальных уравнений второго порядка необходимо двукратное интегрирование по переменной х. Рассмотрим принцип решения простейших дифференциальных уравнений второго порядка на следующем примере:
Пример 41.1. Найдите решение дифференциального уравнения . Решение. Поскольку перед нами простейшее дифференциальное уравнение второго порядка, найдем сначала по формуле: . или , где С 1 – константа. Для нахождения искомой функции у найдем интеграл от по переменной х: или , где С 1 и С 2 – константы. Полученная функция является общим решением дифференциального уравнения . Ответ: . Отметим, что общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные С 1 и С 2. Для простейшего дифференциального уравнения второго порядка можно рассмотреть задачу Коши (см. лекцию 38). Только в отличие от дифференциальных уравнений первого порядка, необходимо иметь два начальных условия: и . Для нахождения частного решения задачи Коши можно использовать следующий алгоритм:
Пример 41.2. Найдите решение задачи Коши: , если при и . Решение. 1. Найдем . 2. Воспользуемся первым начальным условием: при . Подставим эти числа в функцию : . Поскольку , получим, что . Подставим найденное значение С 1 в функцию : или . 3. Найдем функцию у: или . 4. Воспользуемся вторым начальным условием: при . Подставим эти числа в функцию : . Поскольку , получим: или . Найденное значение константы С 2 подставим в функцию : . Полученная функция является частным решением исходного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях. Ответ: .
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида , где p и q – постоянные величины. Например, уравнения , , являются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами Для нахождения решения дифференциальных уравнений такого вида будем составлять характеристическое уравнение: , где k – некоторая новая переменная. Характеристическое уравнение является квадратным относительно k. В зависимости от числа и вида корней данного характеристического уравнения, решение исходного дифференциального уравнения можно представить в виде таблицы 4.1: Таблица 41.1
Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 1672; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |