КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием
Вы́борочное (эмпири́ческое) сре́днее — это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него. Определение Пусть — выборка из распределения вероятности, определённая на некотором вероятностном пространстве . Тогда её выборочным средним называется случайная величина Свойства выборочного среднего Пусть F(x) — выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного функция F(w;x)является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Тогда математическое ожидание этого распределения равно X(w). Выборочное среднее — несмещённая оценка теоретического среднего: Выборочное среднее — сильно состоятельная оценка теоретического среднего: почти наверное при . Выборочное среднее — асимптотически нормальная оценка. Пусть дисперсия случайных величин Xi конечна и ненулевая, то есть . Тогда по распределению при , где N(0,σ2) — нормальное распределение со средним 0 и дисперсией σ2. Выборочное среднее из нормальной выборки — эффективная оценка её среднего. Математи́ческое ожида́ние — мера среднего значения случайной величины в теории вероятностей. В англоязычной литературе и в математическом сообществе Санкт-Петербурга обозначается через E[X](например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской — M[X] (возможно, от англ. Mean value, а возможно от русск. Математическое ожидание). В статистике часто используют обозначение μ. Определение Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина X. То есть, по определению, — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от X по пространству Ω, то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается M[X] или E[X].
Основные формулы для математического ожидания Если FX(x) — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса: . Математическое ожидание дискретного распределения Если X — дискретная случайная величина, имеющая распределение , то прямо из определения интеграла Лебега следует, что . Математическое ожидание целочисленной величины Если X — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности {pi} как значение первой производной в единице: M[X] = P'(1). Если математическое ожидание X бесконечно, то и мы будем писать Теперь возьмём производящую функцию Q(s) последовательности «хвостов» распределения {qk} Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией P(s) свойством: при | s | < 1. Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице: M[X] = P'(1) = Q(1) [править] Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью fX(x), равно . Математическое ожидание случайного вектора Пусть — случайный вектор. Тогда по определению , то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно. [править] Математическое ожидание преобразования случайной величины Пусть — борелевская функция, такая что случайная величина Y = g(X) имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула: , если X имеет дискретное распределение; , если X имеет абсолютно непрерывное распределение. Если распределение Pxслучайной величины X общего вида, то
. В специальном случае, когда g(X) = Xk, Математическое ожидание называется k-тым моментом случайной величины. [править] Простейшие свойства математического ожидания Математическое ожидание числа есть само число. M[a] = a — константа; Математическое ожидание линейно, то есть M[aX + bY] = aM[X] + bM[Y], где X,Y — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а — произвольные константы; Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если почти наверное, и Y — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины X также конечно, и более того ; Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если X = Y почти наверное, то M[X] = M[Y]. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин X,Y равно произведению их математических ожиданий M[XY] = M[X]M[Y].
Дата добавления: 2014-12-24; Просмотров: 1314; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |