Проверка статистических гипотез. При обработке экспериментальных данных часто возникает необходимость оценки вида функций или плотностей распределения случайных величин

При обработке экспериментальных данных часто возникает необходимость оценки вида функций или плотностей распределения случайных величин. Для проверки гипотезы о соответствии экспериментальных данных некоторому теоретическому закону распределения удобно использовать критерий согласия Колмогорова, для вычисления которого необходимо определять величину Птах - максимальную разность накопленных частот фактического и теоретического распределений. А.Н. Колмогоровым доказано предельное вероятностное соотношение

где n - число экспериментальных наблюдений.

- параметр (значения Р(Х) табулированы).

Таблица 4.2

Таблица параметров критерия Колмогорова

	0,3	0,4	0,5	0,55	0,6	0,65	0,7	0,75
Р ()	1.0	1,0	0,96	0,91	0,86	0,79	0,71	0,62

Накопленная частота - это число случайных величин от нижней границы до конца данного интервала их значений. Фактическая частота - это число случайных величин, значения которых попали в данный интервал ∆X=X₁₊₁ – X₁.

Порядок использования критерия Колмагорова можно продемонстрировать на примере. Пусть в результате наблюдений случайной величины X получены значения, расположенные в графах 2, 3, таблицы 4.3

Таблица 4.3

Характеристики распределения случайных величин

Интервал ∆x	Фактическая частота Tф	Накопленные частоты	Абсолютная разность накопленных частот |Мт-Мф|
факти-ческие	теорети-ческие
1,1-1,2
1,2-1,3
1,3-1,4
1,4-1,5
1,5-1,6

Итого 100

Определяем вначале среднее значение х и среднеквадратичное отклонение для случайных величин по формулам (4.1)

х = 1,35; б - 0,108.

Далее, выдвигаем гипотезу о том, что величины х₁ имеют нормальный, закон распределение, т. е.

(4.6)

Теоретические накопленные частоты находятся с помощью Функции нормированного нормального распределения Ф(Z)

(4.7)

где N - общее число наблюдений; в рассматриваемом примере N = 100.

Функция Ф(Z) связана с интегральной функцией Лапласа (4.3) следующим соотношением

(4.8)

Здесь вертикальными прямыми обозначена абсолютная величина параметра Z.

После вычислений получаем М_т1 = 8; М_т2 - 32; М_т3 = 88;

М_т4 = 92; М_т5 = 99. Располагаем эти значения в графе 4

таблицы и вычисляем |М_т - М_ф| - графа 5. Максимальная величина разности накопленных частот составляет 5. Определением далее параметр ). критерия Колмагорова:

(4.9)

Из табл. 4.2 находим, что вероятность Р (0,5) = 0,96. Большая величина этой вероятности указывает на несущественность расхождений между фактическим и теоретическим распределением. Таким образом, гипотеза о нормальном распределении случайных величин принимается.

Дата добавления: 2014-12-25