Основные понятия. Методы теории вероятностей и математической статистики часто применяются в теории надежности, широко используемой в различных отраслях науки и техники

Методы теории вероятностей и математической статистики часто применяются в теории надежности, широко используемой в различных отраслях науки и техники. Под надежностью понимают свойство изделия (объекта, технологии) выполнять заданные функции (сохранять установленные эксплуатационные показатели) в течение требуемого периода времени.

Основной задачей теории надежности является прогнозирование (предсказание с той или иной вероятностью) различных показателей безотказной работы (долговечности, срока службы и т.д.), что связано с нахождением вероятностей.

Введем основные понятия. Под элементом в теории надежности мы будем понимать изделие, элемент, систему или ее часть. Под отказом понимается утрата работоспособности элемента.

По своему характеру отказы могут быть разделены на внезапные и постепенные. Постепенные отказы возникают при постепенном изменении параметров, определяющих качество изделия (в основном в результате старения или износа), когда эти параметры выходят за пределы установленных допусков. Внезапные отказы определяются резким изменением параметров, характеризующих качество элемента.

Например, остановка ВПМ - это внезапный отказ системы местного проветривания, а частичное нарушение целостности вентиляционных труб, их старение - это постепенный отказ.

Пусть в момент t=0 элемент начинает работу, а в момент t = происходит отказ. Величина называется сроком службы элемента (временем безотказной работы). Предположим, что - случайная величина с законом распределения

(5.1)

тогда Q(t) есть вероятность отказа элемента до момента t. Наряду с этой, употребляется и другая функция

P(t)=1-Q(t)=F( >t). (5.2)

т.е вероятность безотказной работы элемента в течение времени t. Такая функция называется функцией надежности. Примерный вид функции надежности показан на рис. 5.1. Эта функция монотонно убывает: Р(0) = 1, Р(t) 0 при t . Функция P(t) можно найти из опыта. Предположим требуется определить значение Р(t=t₀). т.е. вероятность безотказной работы элемента в течение времени t₀. Ставим на испытания К одинаковых элементов и испытываем их при одинаковых условиях в течение времени t₀. Пусть к моменту окончания испытаний не отказало n элементов. Тогда можно считать, что

(5.3)

Если необходимо найти функцию Р(t) для всех значений t < t₀, то мы должны проводить испытания в течение времени t₀ и отмечать моменты возникновения отказов. Зная эти моменты, легко определить функцию n(t), которая равна числу элементов, не отказавших к моменту I. В начальный момент эта функция равна n(0)=N. а в момент каждого отказа она уменьшается на единицу. Отношение

(5.4.)

N

называется эмпирической функцией надежности. При больших N

Часто надежность характеризуется не функцией P(t) а средним временем безотказной работы элемента

(5.5)

Полезно преобразовать этот интеграл к другому виду,

взяв его по частям. для этого воспользуемся формулой

(5.6)

Принимая u = t, v = Q (t) = 1 – P (t), получаем следующее соотношение

(5.7)

Первое слагаемое правой части равно нулю т.к. 0•P(0)=0 и ()•0=0 – из-за того что P(t) убывает быстрее чем t(проверяется по правилу Лолиталя).Отсюда следует, что

(5.8)

Это весьма полезная формула, имеющая геометрическую интерпретацию: Т₀ - площадь под кривой Р(t).

Среднее время безотказной работы может быть получено по результатам испытаний

при (5.9)

Перейдем теперь к рассмотрению важнейшей характеристики надежности, которая называется опасностью отказа.

Рассмотрим сначала такую задачу. Пусть элемент проработал безотказно до момента t. Какова вероятность Р(t,t₁) того, что он не откажет на интервале (t,t₁) Обозначим: А-событие, означающее безотказную работу на интервале(0,t); В-на интервале (t,t₁). Тогда Р (t,t₁) есть условная вероятность события В при условии, что произошло событие

А. Она обозначается Р(В|А). По формуле расчета условных вероятностей получаем

(5.10)

Но событие АВ означает безотказную работу элемента в течение времени t₁. Поэтому

(5.11)

Вероятность отказа на интервале (t, t₁) выразится, очевидно так

(5.12)

При t₁=t+Dt и Dt ® 0 получаем

(5.13)

Введем обозначение

(5.14)

Это вероятность того, что элемент, проработавший безотказно до момента t, не откажет в последующую единицу времени. Величина l(t) называется опасностью отказа. Решая

уравнение (5.14) относительно Р(t), получаем

(5.15)

Величину x(t) можно определить по результатам испытаний

(5.16)

где n(t) - числа элементов, не отказавших к моменту t.

То есть статистическая опасность отказов равна числу отказов за единицу времени, отнесенная к числу не отказавших элементов.

Дата добавления: 2014-12-25