Оптимизационные модели

Виды математических моделей

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

При решении научных и инженерных задач большое место занимает моделирование как средство исследования и познания закономерностей, присущих исследуемому объекту, явлению, процессу.

Модель - это аналог, макет, математическое отображение какого-либо процесса, системы или явления в наиболее важных для теории и практики чертах, свойствах и результатах. Между моделью и объектом должно быть существенное сходство в главном. Существуют различные виды моделей: физические, аналоговые, математические, кибернетические и др. Построение и изучение моделей с целью получения новых знаний об объекте называется моделированием.

Математические модели описывают закономерности, присущие изучаемому объекту, с помощью математических выражений, обычно систем уравнений и неравенств.

Математические модели подразделяются по назначению, виду моделируемого объекта, методу построения или решения модели. В зависимости от назначения, модели укрупнено делятся на оптимизационные и информационные.

Оптимизационные модели занимают ведущее место, т.к. на их основе непосредственно вырабатываются решения задач. В оптимизационных моделях отражается цель функционирования системы.

Информационные модели предназначены для получения информации, используемой при принятии решения, в том числе и при построении оптимизационных моделей. К информационным относятся модели имитации технологических процессов, корреляционные модели технико-экономических показателей, прогнозные и др. модели.

По виду объекта различают модели физических и технологических процессов, комплексов работ, предприятий и объединений.

В зависимости от метода составления или решения различают корреляционные модели, модели линейного (нелинейного) программирования, сетевые модели, модели массового обслуживания, игровые модели и др.

Процесс математического моделирования при решении задач оптимизации сводится нахождению параметров (х₁, х₂...х_n), дающих экстремум целевой функции при известных условиях (ограничениях), заданных уравнениями или неравенствами.

Математически задачу (модель) можно представить в следующем виде:

f (6.1)

при ограничениях

(6.2)

Задачи, в которых функция и ограничения линейны, решаются методами линейного программирования. Основным и универсальным методом линейного программирования является симплекс-метод. В некоторых линейных задачах переменные x₁ могут принимать лишь целочисленные значения. Такие задачи решаются методами целочисленного программирования. Задачи, в которых функции или ограничения (полностью или хотя бы частично) нелинейные, решаются методами нелинейного программирования.

Например, задача отыскания максимума функции

(6.3)

при ограничениях

(6.4)

- это задача линейного программирования.

Если на переменные накладывается дополнительное ограничение, например, x₁, х₂ - целые числа, то это уже задача целочисленного программирования. Если

при ограничениях (6.4) - приходим к задаче нелинейного программирования. Для каждого из указанных классов задач разработаны свои методы решения.

В ряде случаев задачи имеют большую размерность и их решение требует сложных вычислительных действий. В таких случаях прибегают к модульному (блочному) программированию, для чего задачу разбивают на ряд частных задач меньшей размерности. Модульное программирование в ряде случаев позволяет получить оптимальное или близкое к нему - рациональное решение.

Динамическое программирование - это метод планирования многоступенчатого вычислительного процесса, который может быть разделен на ряд последовательных этапов. При использовании этого метода, в отличие от классического подхода, решение многомерной многоэтапной задачи производится последовательно, путем выбора оптимального решения на каждом этапе.

На производственные процессы и работу горных предприятий существенное влияние могут оказывать случайные факторы. Поэтому параметры таких систем, критерий эффективности

и ограничения задаются иди оцениваются вероятностно. Для решения подобных задач используют методы математической статистики, теории массового обслуживания, теории игр и статистических решений, теории надежности, основанные на теории вероятностей.

При моделировании особо сложных систем, аналитическое описание которых затруднено, применяется метод статистических испытаний (Монте-Карло). Это метод, при котором в процессе моделирования в непосредственном виде включается случайные факторы. Он аналогичен натурному эксперименту, но позволяет получать результаты в более короткие сроки и с меньшими затратами. Существует и такие задачи, когда необходимо отнести горный объект к тому или иному классу (опасный - неопасный, эффективный - неэффективный и т.д.). Здесь используются методы теории распознавания образов, классификации многомерных наблюдений и др.

Четко очертить сферу приложения того или иного метода невозможно. Кроме того, границы применения методов построения и решения моделей непрерывно расширяются.

Дата добавления: 2014-12-25