Имитационное моделирование

Особое место среди методов математического моделирования занимает имитационное, ввиду своей универсальности.

Под имитационным моделированием понимается применение метода Монте-Карло (статистических испытаний) для исследования сложных систем. Идея метода Монте-Карло состоит в том, что вместо аналитического описания случайных явлений и процессов проводится их розыгрыш, в результате которого получается одна реализация случайного процесса. Производя такой розыгрыш большое число раз, получают статистический материал (множество реализаций случайного процесса), обрабатываемый методами математической статистики.

Нередко такой прием оказывается проще, чем попытка построить аналитическую модель явления и исследовать зависимость между его параметрами на этой модели. Методом розыгрыша может быть решена любая вероятностная задача; однако оправданным он становится в случае, когда процедура розыгрыша проще, а не сложнее аналитического метода.

При достаточно большом числе испытаний этим методом можно получить высокую точность решения. Указанные обстоятельства обеспечивают большие достоинства метода и его широкое применение для решения самых разнообразных задач. Широкое применение метода Монте-Карло началось с появлением ЭВМ.

В отличие от аналитических, метод Монте-Карло, являясь особым численным методом, позволяет решать задачи, не сформулированные в виде уравнений или формул. Задачи решаются на конкретных числах, при этом результат получается не в виде аналитических формул, а в виде числовых характеристик случайных процессов.

Недостатком метода является его "слепота". В процессе моделирования не видно, как влияют те или иные факторы на полученные результаты. Поэтому наиболее рациональным оказывается совместное применение упрощенных аналитических методов (позволяющих выбрать сравнительно узкую область исследования, оценить влияние различных факторов, упростить модель за счет отбрасывания второстепенных факторов) и метода Монте-Карло (позволяющего произвести оценку более точную, но в более ограниченной области).

Для имитационного моделирования систем нужно иметь устройство, с помощью которого воспроизводится искусственная имитация случайных величин. Для этого служит датчик случайных чисел. На основе построенной модели, отражающей стохастические зависимости, составляют алгоритмы моделирования системы на ЭВМ, причем структура алгоритма зависит от того, какие характеристики систем исследуются. Применяя алгоритм многократно, получают множество реализаций процесса в заданных условиях функционирования системы, которое подвергают статистической обработке. Число реализаций определяется заданной точностью и достоверностью полученных при моделировании величин. Обобщенная структура исследования систем методом имитационного моделирования показана на рис. 6.1.

Отметим еще один из важных аспектов техники применения метода имитационного моделирования. Блок "моделирование случайных процессов" (рис. 6.1) предполагает наличие способа формирования случайных величин с заданным законом распределения. Для этого среди стандартных программ математического обеспечения ЭВМ имеется базовая программа (или датчик) Формирования случайных чисел, равномерного распределенных на интервале (0; 1). Покажем, как с их использованием можно получить любую непрерывную функцию распределения F(x).

Пусть у - случайная величина, определяемая уравнением у = F (x). Найдем функцию распределения этой случайной величины Р(у < у₀). Заметим, что функция F(x) - монотонно возрастающая. Тогда можно записать цепочку равенств

(6.5)

Ввиду монотонного возрастания F (x) последнее неравенство справедливо только тогда, когда x < x₀. Поэтому

(6.6)

Последнее равенство следует из определения случайной величины у. Поэтому , а это есть функция равномерного закона распределения (см. табл. 4.4).

Таким образом, для формирования случайной величины с некоторым законом распределения F (x) необходимо вначале сформировать равномерно распределенную величину у, а затем решить уравнение

. (6.7)

где F^-1 - функция, обратная к F (x).

Например, если х имеет экспоненциальное распределение Р(х) = 1 - ехр(-lх), то обратная функция будет иметь вид

.

где у имеет равномерное распределение на отрезке (0,1).

Формирование нормально распределенных случайных величин со средним значением х и среднеквадратичным отклонением d осуществляется с использованием формулы

. (6.9)

где |z| - абсолютное значение стандартной нормально распределенной случайной величины с параметрами

x - случайная величина, равномерно распределенная на отрезке (0,1).

sign - функция знака - (плюс или минус 1).

Для формирования величины z воспользуемся формулой (6.7) и аппроксимацией интеграла вероятности [15]

тогда получаем

(6.10)

где у - случайная величина, равномерно распределенная на отрезке (0,1).

Таким образом, для формирования нормально распределенной случайной величины х необходимо:

1.Сформировать 2 различных равномерно распределенных случайных величин x и у.

2.По формуле (6.10) вычислить |z|.

3.Воспользоваться формулой (6.9).

Дата добавления: 2014-12-25