Границя числової послідовності

Можна помітити, що члени послідовності необмежено наближаються до числа 1. В цьому випадку говорять, що послідовність , прагне границі 1.

Число а називається границею послідовності , якщо для будь-якого додатного числа e знайдеться таке натуральне число , що при всіх виконується нерівність

(15.2)

В цьому випадку пишуть або і говорять, що послідовність (або змінна , пробігаюча послідовність , , ) має границю, рівну числу а (або прагне до а). Говорять також, що послідовність наближається до а.

Приклад 15.1. Довести, що .

○ За означенням, число 1 буде границею послідовності

якщо знайдетьсянатуральне число , таке, що для всіх виконується нерівність, тобто . Воно справедливе для всіх , тобто для всіх = , де - ціла частина числа (ціла частина числа х, що позначається [ x ], є найбільше ціле число, не перевищує : [3]=3 [5,2]=5).

Якщо , то як можна узяти +1.

Отже вказано відповідне значення . Це і доводить, що

Звернимо увагу, що число залежить від .Так, якщо , то

якщо =0,01, то

Тому іноді записують .

З'ясуємо геометричне значення означення границі послідовності.

Нерівність (15.2) рівносильна нерівностям - < -а < або a- < < a+ , які показують, що елемент знаходиться в - окіл точки а.

Тому означення границі послідовності геометрично можна сформулювати так: число а називається границею послідовності , якщо будь-яке - окіл точки а знайдеться натуральне число , що всі значення для яких , потраплять в -окіл точки а (див. рис.109).

Дата добавления: 2014-12-26