Теорема 7.1.3 (Лагранж). Якщо функції безперервні на відрізку, то знайдеться хоча б одна точка така, що виконується рівність

Теорема 7.1.2 (Коші). Якщо функції і безперервні на відрізку, що диференціюється на інтервалі, причому для, то знайдеться хоча б одна точка така, що виконується рівність

Відзначимо що , оскільки в осоружному випадку по теоремі Ролля знайшлася б точка с, така, що , чого не може бути по умові теореми. розглянемо допоміжну функцію

.

Вона задовольняє все умовам теореми Ролля: неперервна на відрізку і що диференціюється на інтервалі , оскільки є лінійною комбінацією функцій і; на кінцях відрізка вона приймає однакові значення.

На підставі теореми Ролля знайдеться точка така що. Але , отже

.

Звідси слідує

і.

.

Теорему Лагранжа можна розглядати як окремий випадок теореми Коші. Дійсно, поклавши , знаходимо.

Підставляючи ці значення у формулу , одержуємо або .

Отриману формулу називають формулою Лагранжа абоформулою про кінцевий приріст: приріст функції, що диференціюється, на відрізку рівно приросту аргументу, помноженому на значення похідної функції в деякій внутрішній точці цього відрізка.

Теорема Лагранжа має простий геометричний сенс. Запишемо формулу (7.1.2) у вигляді , де. Відношення є кутовий коефіцієнт січної АВ , а величина – кутовий коефіцієнт дотичної до кривої в точці з абсцисою х=с.

Отже, геометричне значення теореми Лагранжа таке: на графіку функції знайдеться точка (див. Рис. 142), в якій дотична до графіка функції паралельна січній АВ.

Дата добавления: 2014-12-26