Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Загрузка...

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Дотична площина і нормаль до поверхні




Розглянемо одне геометричне застосування частинних похідних функції двох змінних. Нехай функція диференційовна в точці деякої області. Перетнемо поверхню , що зображає функцію , площинами і (див. рис. 4). Площина перетинає поверхню по деякій лінії , рівняння якої виходить підстановкою у вираз початкової функції замість числа . Точка належить кривій. Через диференційовність функції в точці функція також диференціюється в точці . Тому, в цій точці площини до кривої може бути проведена дотична пряма .

 

Рис.4

Проводячи аналогічні міркування для перетину , побудуємо дотичну пряму до кривої в точці . Прямі і визначають площину, яка називається дотичною площиною до поверхні в точці .

Складемо її рівняння. Оскільки площина проходить через точку , то її рівняння може бути записано у вигляді

яке можна переписати так:

(3.1)

(розділивши рівняння на і позначивши ).

Знайдемо і : Рівняння дотичних і мають вигляд

відповідно.

Дотична лежить в площині , отже, координати всіх точок задовольняють рівняння (3.1). Цей факт можна записати у вигляді системи

 

Розв’язуючи цю систему відносно , отримаємо, що Проводячи аналогічні міркування для дотичної , легко встановити, що

Підставивши значення і в рівняння (3.1), одержуємо шукане рівняння дотичної площини:

(3.2)

Пряма, що проходить через точку і перпендикулярна дотичній площини, побудованої в цій точці поверхні, називається її нормаллю.

Використовуючи умову перпендикулярності прямої і площини (див. з. 87), легко отримати канонічні рівняння нормалі:

(3.3)

Якщо поверхня задана рівнянням , то рівняння (3.2) і (3.3), з урахуванням того, що частинні похідні можуть бути знайдені як похідні неявної функції:

 

 

(див. формули (2.12)), приймуть відповідно вигляд

і

Зауваження. Формули дотичної площини і нормалі до поверхні отримані для звичайних, тобто не особливих, точок поверхні. Точка поверхні називається особливою, якщо в цій точці всі частинні похідні рівні нулю або хоча б одна з них не існує. Такі точки ми не розглядаємо.

Приклад 1. Написати рівняння дотичної площини і нормалі до параболоїда обертання в точці .

m Тут, , ,

Користуючись формулами (3.2) і (3.3) одержуємо рівняння дотичної площини:

або і рівняння нормалі:

l





Дата добавления: 2014-12-26; Просмотров: 1976; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:

  1. А если вы изучаете только ненормальное, то вы не можете постичь никаких возможностей сверхнормального существа.
  2. Анализ нормального распределения
  3. В теории способа наименьших квадратов доказывается, что величина K, соответствующая этому условию, может быть найдена из нормального уравнения
  4. Вибір методу обробки для закону нормального розподілення
  5. ВЫВЕРКА ПРИЦЕЛА БМП И ПРИВЕДЕНИЕ СПАРЕННОГО ПУЛЕМЕТА ПКТ К НОРМАЛЬНОМУ БОЮ
  6. Вычисление вероятности заданного отклонения нормальной случайной величины
  7. Генерация случайных чисел, распределенных по нормальному закону.
  8. Дегазація це розклад (нейтралізація) отруйних речовин, небезпечних хімічних речовин (НХР) до нетоксичних продуктів або їх механічні видалення із зараженої поверхні.
  9. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
  10. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Полином Жегалкина. Двойственные и самодвойственные функции. 1 страница
  11. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Полином Жегалкина. Двойственные и самодвойственные функции. 2 страница
  12. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Полином Жегалкина. Двойственные и самодвойственные функции. 3 страница




studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.166.235.48
Генерация страницы за: 0.008 сек.