Екстремум функції двох змінних

Значення функції в точці максимуму (мінімуму) називається максимумом(мінімумом) функції. Максимум і мінімум функції називають її екстремумами

Відзначимо, що, за означенням, точка екстремуму функції лежить всередині області визначення функції; максимум і мінімум мають локальний (місцевий) характер: значення функції в точці порівнюється з її значеннями в точках достатньо близьких до . В області функція може мати декілька екстремумів або не мати жодного.

Теорема 10.4.1. (необхідні умови екстремуму). Якщо в точці диференційовна функція має екстремум, то її частинні похідні в цій точці рівні нулю: , .

Зафіксуємо одну із змінних. Покладемо, наприклад . Тоді отримаємо функцію однієї змінної, яка має екстремум при . Отже, згідно необхідній умові екстремуму функції однієї змінної (див. п. 25.4), , тобто .

Аналогічно можна показати, що .

Геометрично рівності і означають, що в точці екстремуму функції дотична площина до поверхні, що зображає функцію , паралельна площині , так як рівняння дотичної площини (див. формулу (3.2)).

Зауваження. Функція може мати екстремум в точках, де хоча б одна з частинних похідних не існує.

Наприклад, функція має максимум в точці (див. рис. 6), але не має в цій точці частинних похідних.

Точка, в якій частинні похідні порядку функції рівні нулю, тобто, , , називається стаціонарною точкою функції .

Стаціонарні точки і точки, в яких хоча б одна частинна похідна не існує, називаються критичними точками.
Приклад 1. Знайти екстремум функції .

m Тут Точки, в яких частинні похідні не існують, відсутні.

Знайдемо стаціонарні точки, розв’язуючи систему рівнянь:

Звідси одержуємо точки і

Знаходимо частинні похідні другого порядку даної функції:

В точці маємо: , звідси тобто

Оскільки , то в точці функція має локальний максимум

В точці : і, значить . Проведемо додаткове дослідження. Значення функції в точці рівне нулю: . Можна помітити, що при , при , . Значить, в околі точки функція приймає як негативні, так і позитивні значення. Отже в точці функція екстремуму не має.

Дата добавления: 2014-12-26