Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Загрузка...

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Обчислення площі плоскої фігури, що обмежена лініями, заданими у полярній системі координат і параметрично за допомогою визначеного інтеграла




Як вже було встановлено (див. «геометричне значення визначеного інтеграла»), площа криволінійної трапеції, розташованої «вище» за вісь абсцис ( ), дорівнює відповідному визначеному інтегралу:

. (9.7.1)

Формула (9.7.1) отримана шляхом застосування першої схеми—методу сум. Обґрунтуємо формулу (9.7.1), використовуючи другу схему. Нехай криволінійна трапеція обмежена лініями (див. рис..174).

(рис.174)

Для знаходження площі S цієї трапеції виконаємо наступні операції:

1. Візьмемо довільне і вважатимемо, що .

2. Дамо аргументу приріст . Функція

отримає приріст , який є площею «елементарної криволінійної трапеції» (на малунку вона виділена).

Диференціал площі це головна частина приросту при , і, очевидно, він дорівнює площі прямокутника з основою і висотою .

3. Інтегруючи одержану рівність в межах від до , отримаємо .

Відзначимо, що якщо криволінійна трапеція розташована «нижче» осі , то її площа може бути знайдена по формулі

. (9.7.2)

Формули (9.7.1) і (9.7.2) можна об'єднати в одну:

.

(рис.175)

Площа фігури, обмеженої кривими і , прямими і (при умові ) (див. рис. 175), можна знайти по формулі

. (*)

(рис.176)

 

 

Якщо плоска фігура має «складну» форму (див. рис. 176), то прямими, паралельними осі , її слід розбити на частини так, щоб можна б було застосувати відомі формули.

 

Якщо криволінійна трапеція обмежена прямими і , віссю і неперервною кривою (див. рис.177), то її площа знаходиться по формулі .

(рис.177)

І, нарешті, якщо криволінійна трапеція обмежена кривою заданою параметрично

,

прямими , і віссю , то площа її знаходиться по формулі

,

де і визначаються з рівності .

Приклад 9.7.1. Обчислити площу фігури, що обмежена віссю і графіком функції при .

(рис.178)

○ Фігура має вигляд, зображений на рис. 178. Знаходимо її площу :

Приклад 9.7.2. Обчислити площу фігури, що обмежена еліпсом , .

○ Знайдемо спочатку площі S. Тут змінюється від 0 до , отже, змінюється від до 0 (див. рис. 179).

(рис.179)

Знаходимо:

 

.

Таким чином, . Значить .●

Знайдемо площу S криволінійного сектора, тобто плоскої фігури, обмеженої неперервною лінією і двома променями і , де і —полярні координати (див. рис. 180). Для розв’язання задачі використовуємо другу схему—метод диференціала.

(рис.180)

 

1. Вважатимемо частину шуканої площі S як функцію кута , тобто , де (якщо , то , якщо , то ).

2. Якщо поточний полярний кут отримає приріст , то й приріст площі дорівнює площі «елементарного криволінійного сектора» .



Диференціал є головною частиною приросту при і дорівнює площі кругового сектора (на рис. вона заштрихована) радіусу з центральним кутом . Тому .

3. Інтегруючи отриману рівність в межах і , отримаємо шукану

площу

.

Приклад 9.7.3. Знайти площу фігури, що обмежена «трьохпелюстковою трояндою» (див. рис. 181).

(рис.181)

○ Знайдемо спочатку площу половини одного листка «троянди», тобто частини всієї площі фігури:

, тобто . Отже, .●

 

Якщо плоска фігура має «складну» форму, то промінням, що виходить з полюса, її слід розбити на криволінійні сектори, до яких застосувати одержану формулу для знаходження площі. Так, для фігури, зображеної на рис. 182, маємо:

(рис.182)

.





Дата добавления: 2014-12-26; Просмотров: 2211; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:

  1. Альтернативистика: её мировоззренческие, методологические и целевые координаты.
  2. В роли координатора по оказанию экстренной финансовой помощи
  3. В чому полягає принцип стратегії в системі корпоративної культури?
  4. В.3. Випрямлення змінного струму в постійний за допомогою колектора. Найпростіший генератор постійного струму.
  5. Ввод начальной координаты (Start Coordinate)
  6. Ведомость вычисления координат вершин
  7. Ведомость вычисления координат вершин
  8. Визначення взаємозв’язку між конкурентною позицією і фінансовими результатами діяльності підприємства за допомогою множинної регресійної економіко-математичної моделі
  9. Визначення місця України в сучасній системі світового господарства
  10. Визначення припусків та технологічних розмірів за допомогою технологічних розмірних ланцюгів
  11. Визначення прискорень точок плоскої фігури за допомогою миттєвого центра прискорень
  12. Визначення системи координат користувача 1 страница




studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.81.46.194
Генерация страницы за: 0.01 сек.