Системы случайных величин

1. На практике часто бывает необходимо определять вероятности совместной реализации нескольких СВ. Например, если известно, что двигатель автомобиля безотказно работает 100 тыс. км с вероятностью р ₁, а ходовая часть с вероятностью р ₂, то какова вероятность их совместной безотказной работы?

Если эти два события независимы (обозначим их А и В), то вероятность совместного осуществления определяется формулой

. (1.2.1)

Если события не являются независимыми, то вероятность их совместного появления определяется через условную вероятность:

. (1.2.2)

Под условной вероятностью понимается вероятность наступления события при условии, что событие произошло. Для независимых событий .

Установление независимости событий, либо определение условных вероятностей, часто делается из соображений по существу исследуемого процесса.

Рассмотрим пример. В механизм входят две одинаковые шестерни. Технические условия нарушаются, если они обе окажутся с плюсовыми отклонениями по толщине зуба. У сборщика имеется 10 шестерен, из которых 3 «+» и 7 «-». Определим вероятность нарушения технических условий при сборке. Пусть событие А ~ {первая шестерня «+»}, событие В ~ {вторая шестерня «-»}. По правилу умножения находим . Непосредственным подсчетом находим .

Если же шестерни последовательно устанавливаются на двух рабочих местах и у двух сборщиков одинаковые партии шестерен, то А и В можно считать независимыми. В этом случае

Из соотношения (1.2.2) следует формула Байеса:

. (1.2.3)

Пусть событие А по условиям опыта может осуществляться только совместно с каким-нибудь из событий полной группы (одной

из гипотез) , удовлетворяющих условиям при .

Безусловные вероятности и априорные условные вероятности предполагаются известными. Тогда вероятность события А определяется формулой полной вероятности:

. (1.2.4)

Апостериорные условные вероятности гипотез Р (Н_k / A), то есть правдоподобие гипотез при условии, что событие А зафиксировано, определяются по формуле вероятностей правдоподобия гипотез

Байеса:

. (1.2.5)

Пусть в партии смешаны изделия от трех поставщиков в количестве n ₁, n ₂, n ₃. Известно, что вероятности дефектности для изделия 1-го, 2-го, 3-го поставщиков равны соответственно q ₁, q ₂, q ₃. Взятое наугад изделие оказалось дефектным. Требуется найти вероятность того, что оно принадлежит 1-му, 2-му и 3-му поставщикам.

Пусть событие А ~{изделие оказалось дефектным}. Гипотезы, образующие полную группу, заключаются в следующем:

~{изделие 1-го поставщика}; ~{изделие 2-го поставщика}; ~{изделие 3-го поставщика}. Их вероятности равны:
.

Из контекста задачи условные вероятности события А

составляют: .

Апостериорные вероятности гипотез, вычисленные по формуле Байеса, после элементарных преобразований будут иметь вид

.

2. Пусть совокупность объемом N образуется по схеме Бернулли с вероятностью успеха p. Для наглядности представим, что корзина последовательно заполняется N шарами, которые независимо друг от друга могут быть черными с вероятностью p и белыми с вероятностью 1- р. Ряд распределения числа черных шаров, будет иметь вид

.

Из корзины извлекается безвозвратная выборка объемом n < N. Пусть Y число черных шаров в выборке. Ряд условного выборочного распределения согласно п.1.1 составит

(1.2.6)

Найдем ряд безусловного распределения Р { X = m }. Применяя формулу полной вероятности, получим

Комбинаторный множитель в последнем выражении после элементарных преобразований составит . Продолжив преобразования, получим

Сумма в последнем выражении представляет собой полную сумму биноминального ряда В (p, N-n), стало быть равна 1.

Таким образом доказана следующая теорема:

Безвозвратная выборка из конечной биноминальной совокупности сохраняет биноминальный закон распределения с той же вероятностью успеха: .

3. Рассмотрим другую ситуацию. Пусть имеется двухзвенная технологическая цепь с вероятностями успешного завершения операций p ₁ и p ₂ соответственно. Положим, что результаты последовательного прохождения компонентов полуфабриката (заготовок) независимы в совокупности, т.е. реализуется схема Бернулли. Пусть n – число заготовок, поступивших на вход первого звена. Тогда Y ₁ – число бездефектных полуфабрикатов на выходе первого звена будет подчиняться биноминальному закону P { Y ₁= m ₁}~ B (p _1, n). Выход первого звена является входом второго, и условное распределение P { Y ₂= m ₂ | Y ₁= m ₁}, m ₁ ≥ m ₂, также будет биноминальным: B (p ₂ , m ₁). Безусловное распределение P { Y ₂ = m } согласно формуле полной вероятности составит:

Объединяя комбинаторные множители и перегруппировывая факториальные сомножители, получаем тождество

.

Далее, вынося из под знака суммы множители, не зависящие от m ₁, искомые вероятности получим в виде

Совершив замену индекса , сумму в последнем выражении преобразуем к виду

(1.2.8)

Возвращая (1.2.8) в (1.2.7), окончательно получаем следующее тождество:

,

что является доказательством следующей теоремы:

Число успехов при испытаниях по двухзвенной схеме Бернулли подчиняется биноминальному закону с вероятностью успеха, равной произведению вероятностей успеха составляющих звеньев:

B{p_1,n} B{p_2,n p₁}→ B{p₁p₂,n).

Из этой теоремы вытекает доказываемое с помощью элементарной индукции следствие: для любого числа последовательных звеньев схемы Бернулли число успехов на выходе подчиняется биноминальному закону с вероятностью успеха, равной произведению вероятностей составляющих звеньев.

4. При совместном рассмотрении нескольких СВ следует разли­чать два принципиально различных типа взаимодействия.

Пусть имеется партия подшипниковых шариков, состоящая из продукции двух различных автоматов. Фактический диаметр шариков первого автомата имеет нормальное распределение с параметрами , второго - . Доли шариков первого и второго сорта равны со­ответственно . Плотность распределения диаметра шариков в репрезентативной выборке из такой партии по формуле полной вероятности будет равна:

. (1.2.9)

Если при этом > , то кривая плотности распределения будет иметь двухмодальный (двухгорбый) вид. Такой тип взаимодействия, когда с вероятностью появляется СВ X ₁, a с вероятностью -СВ Х ₂, называется суперпозицией законов распределения. Если же продукцией автоматов являются, скажем, электрические сопротивления, которые затем соединяются в последовательную цепь, то номинальное сопротивление составных резисторов будет иметь ПР

. (1.2.10)

Такой тип взаимодействия, представляющий собой сложение независимых СВ, называется композицией.

При этом, если резисторы с двух линий смешиваются в общем накопителе в пропорции , а затем соединяются в цепь, то номинал составных резисторов будет иметь трехмодальное распределение с плотностью

(1.2.11)

В данном случае имеет место совместное проявление суперпозиции и композиции двух СВ. Из этого простого примера ясно, что для результативности и эффективности любого статистического анализа необходимо детальное предметное рассмотрение схемы возникновения и взаимодействия СВ, что на практике нередко упускается из виду.

5. В приложениях математической статистики часто встречается задача установления закона распределения функции нескольких СВ. Сумма двух СВ Y = X ₁+ X ₂ является частным случаем функции двух СВ. Исчерпываю­щей характеристикой пары СВ является функция их совместного распределе­ния, которая определяется как вероятность совместности выполнения двух неравенств:

. (1.2.12)

Функция распределения (1.2.12) обладает свойствами, аналогичными свойствам функции распределения одной СВ. Однако знание функций распределения F ₁(x ₁) и F ₂(x ₂) недостаточно для описания совместного распределения X ₁ и Х ₂, так как между ними возможно наличие стохастической зависимости — связи. При условии независимости X ₁ и Х ₂, что эквивалентно независимости событий A ₁@{ X ₁< х ₁} и А ₂@{ Х ₂< х ₂}, функция совместного распределения факторизуется и для ее определения достаточно знать функции распределения компонент

F (x ₁, x ₂)= F (x ₁) F (x ₂). (1.2.13)

Точно так же факторизуется и плотность совместного распределения:

(1.2.14)

Функция распределения СВ Y = X ₁+ X ₂ представляет собой интеграл

, (1.2.15)

где D (y) - область плоскости х ₁ оx ₂, определяемая из условия х ₁+ х ₂< у (рис. 1.2.1).

Рис. 1.2.1. Область интегрирования для определения ПР суммы двух СВ

Дифференцируя (1.2.15) по у, находим плотность распределения суммы:

(1.2.16)

или, учитывая симметрию функции Y = X ₁+ Х ₂,

. (1.2.17)

Интеграл (1.2.16) и эквивалентный ему (1.2.17) называется сверткой и обозначается символом

g = f ₁* f ₂. (1.2.18)

При композиции двух дискретных СВ интегралы (1.2.16) и (1.2.17) преобразуются в суммы:

. (1.2.19)

В примере, приведенном в предыдущем пункте, был использован тот факт, что сумма двух нормальных величин также является нормальной, среднее значение и дисперсия которой равны соответственно сумме средних и сумме дисперсий слагаемых: m = m ₁+ m ₂ , То же самое справедливо для любого числа независимых нормальных СВ. При этом плотность распределения суммы из n слагаемых будет представлять собой результат n -кратной последовательной свертки. Суммы непрерывных СВ с распределением, отличным от нормального, уже не сохраняют закон распределения слагаемых, даже если слагаемые распределены одинаково. Однако с увеличением числа слагаемых сумма всякий раз достаточно быстро нормализуется, что напрямую следует из центральной предельной теоремы.

Для иллюстрации центральной предельной теоремы рассмотрим сумму независимых СВ с равномерным распределением на отрезке . Последовательно производя преобразования (1.2.16), получим для ПР следующие рекуррентные соотношения:

(1.2.20)

(1.2.21)

Графики функций изображены на рис. 1.2.2.

Рис. 1.2.2. Нормализация суммы случайных слагаемых R(0,1)

Как видно, последовательность достаточно быстро приближается к кривой плотности нормального распределения с параметрами , . Если ввести нормированную величину , то при n 6 получим кривую, практически не- отличимую от стандартной нормальной кривой Гаусса: .

6. В п. 1.1 была найдена плотность распределения квадрата стандартной нормальной СВ. Используя соотношение (1.2.16), найдем плотность распределения суммы квадратов двух независимых стандартных нормальных СВ: :

. (1.2.22)

При произвольном k >2, разделяя образующуюся последовательность по четным/нечетным номерам, ПР по индукции получаем в виде

, (1.2.23)

где – гамма-функция Эйлера, обладающая следующими свойствами:

, , Г (1)=1.

Для целого аргумента

Распределение играет очень важную роль при решении многих прикладных задач математической статистики. Среднее и дисперсия равны:

; . (1.2.24)

В приложениях часто встречаются распределения, получающиеся из путем его преобразования. Например, . Плотность распределения найдем, используя полученное в п. 1.1 соотношение (1.1.2):

. (1.2.25)

При k =2 возникает распределение Рэлея – распределение эксцентриситета параллельных осей вала и отверстия: .

При k =3 возникает распределение Максвелла – распределение величины скорости молекулы газа в трехмерном пространстве: .

Среднее и дисперсия величины равны:

.

7. Пусть СВ имеют ПР совместного распределения , а - их произведение. Область , удовлетворяющая условию , показана на рис.1.2.3.

Рис.1.2.3. Область интегрирования для определения произведения двух СВ

Интегрируя ПР совместного распределения по области , находим ФР :

. (1.2.26)

Дифференцируя по , находим ПР произведения:

. (1.2.27)

Если и независимы и симметричны относительно нуля, то (1.2.27) преобразуется к виду

. (1.2.28)

Если же независимые положительно–определенные СВ, то множитель 2 исчезает.

8. Для преобразования область показана на

рис. 1.2.4.

Рис.1.2.4. Область интегрирования для определения

отношения двух СВ

Интегрируя, получаем ФР в виде

. (1.2.29)

Дифференцируем по , находим ПР :

. (1.2.30)

Для пары независимых и положительных СВ (1.2.30) преобразуется к виду

. (1.2.31)

Пусть, Подставляя в (1.2.31) ПР (1.2.23), получим (1.2.32)

Для отношения средних квадратов , связанного

с линейным соотношением , будем иметь (1.2.33)

Соотношение (1.2.33) есть ПР диперсионного отношения Фишера – основной инструмент дисперсионного анализа.

8. Найдем дисперсию суммы двух СВ, полагая наличие связи между ними. Используя свойства средних и дисперсий, получим

(1.2.34)

С помощью тождественного преобразования вида получаем, что последнее слагаемое в (1.2.34) представляет собой смешанный второй центральный момент . Таким образом, окончательно дисперсию суммы получаем в виде

(1.2.35)

где - ковариация, служащая мерой линейной зависимости между Х и Y. Удельная мера, или коэффициент корреляции, определяется как

.

Подставив (1.2.34) в (1.2.35), для дисперсии суммы будем иметь

. (1.2.36)

Коэффициент корреляции, очевидно, сохраняет постоянное значение при масштабировании , , где a и b – произвольные положительные константы. Полагая , , получим . Так как , . Левая часть последнего соотношения неотрицательна, следовательно .

Множественная ковариация системы СВ задается симметричной ковариационной матрицей n × n. На главной диагонали стоят дисперсии . Внедиагональные элементы представляют собой соответствующие ковариации . Путем деления ковариационной матрицы на соответствующие дисперсии образуется корреляционная матрица, сохраняющая симметрию. На ее главной диагонали стоят 1, внедиагональными элементами являются коэффициенты корреляции .

Дата добавления: 2014-12-26