ЗАНЯТИЕ 6. Контрольная работа №1. Прием части-1 БДЗ. 3 страница

Решение:

Общие формулы: уравнение , содержащей точки , , записывают в виде: , где .

Замечание: представлена только основная формула, другие уже использовались в решённых примерах, и будут раскрываться по мере необходимости!

1). Найдём уравнение прямой . Вычислим =–4, и запишем уравнение : , или в виде .

2). Используя условие , можем записать : . Вычислим из условия: , то есть: , откуда =–2. Окончательно : .

3). Вычислим = как расстояние от точки до прямой линии . Нормируем уравнение и вычисляем: = · = ·19→ = .

4). Вычислим угол . Если обозначить угловой коэффициент вектора как , то, используя величину = , можем записать: = . Вычислим координаты точки , учитывая, что – медиана: = = (7,3), тогда = = (3,7). Теперь можем записать: = и вычислить = . Используя формулу тригонометрии: , вычислим = .

5). Нахождение уравнений и можно было бы решать традиционно: имея угловые коэффициенты векторов и , найти угловые коэффициенты названных прямых и получить нужные уравнения.

Мы не станем применять этот способ: он более трудоёмкий. К тому же ответ, используемый задачником, будет получить весьма трудно!

Воспользуемся тем, что биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла!

Найдём уравнение прямой = . Вычислим =– , и запишем : . Легко нормируя уравнения для прямых линий и , можем записать:

: =– , учтено, что угол , (5)

: = , учтено, что угол . (6)

Замечание: обоснование формул (5) и (6), а также особенности их применения показано в Пособии по аналитической геометрии и в Пособии БДЗ!

Используя записи (5) и (6), достаточно просто получаем записи, используемые в ответах Задачника : ,

:

Ответ: уравнения : , : , высота треугольника = = , для угла ^ имеем = , уравнения биссектрис: : =0,

: =0.

Пример 5 – 173: Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину (2, 6), а также уравнения высоты : и биссектрисы : , проведенных из од­ной вершины.

Решение:

1). Имея уравнения медианы и высоты , определим координаты точки = из системы уравнений: Ре­шение системы: = (–1, 2).

2). Уравнение прямой (обозначим ) определим по свойству принадлежности . Так как = =(3,4), то уравнение прямой можем записать в виде выражений : , или .

3). Уравнение стороны (обозначим ) определим по свойству . Сразу можем записать : , причём определяется условием: , то есть: , откуда получаем: = –20. Окончательно : .

4). Для прямых и запишем их угловые коэффициенты: = , =–7, соответственно. Для прямой линии вычислим из условия, что биссектриса угла треугольника:

= , или = , откуда =– .

Так как то : , или : .

Ответ: уравнения : , : , : .

☻

Вопросы для самопроверки:

1. При помощи какого свойства векторов получают общее уравнение прямой?

2. Как записывается уравнение прямой в параметрической форме?

3. Что значит «уравнение прямой в отрезках»?

4. Как проводится «нормализация общего уравнения прямой»?

5. Что значит «угловой коэффициент» вектора, прямой?

6. Как получают уравнение прямой, проходящей через две заданные точки?

7. Что такое «отклонение» точки от заданной прямой, как его вычисляют?

8. Как определить, лежат ли заданные точки А и В в одной полуплоскости или в разных?

9. Как определить угол между заданными прямыми?

10. Как записывают условия параллельности и перпендикулярности для двух прямых?

11. Как определить внутренний угол заданного треугольника?

Задачи для самоподготовки:

Пример C4 – 1: Прямая линия задана точкой и вектором нормали = . Записать уравнение прямой в общем виде, привести к нормальному виду и определить расстояние от начала координат до прямой линии. Рассмотреть случаи: в) точка (1,1), =(2,–1).

Ответ: в случае: в) общее =0, нормальное ·()=0, = .

Пример C4 – 2: Прямая линия задана точкой и направляющим вектором = . Записать уравнение прямой в общем виде, привести к нормальному виду и определить расстояние от начала координат до прямой линии. Рассмотреть случаи: в) точка (–1,1), =(2,0).

Ответ: в случае: в) уравнения: общее =0, нормальное =0, =1.

Пример C4 – 3: Задана прямая линия и точкой . Вычислить расстояние от точки до . Записать уравнение прямой , проходящей через точку перпендикулярно . Записать уравнение прямой , проходящей через точку параллельно . Рассмотреть случаи:

б) : =0, точка (1,0); в) : =0, точка (0,–1).

Ответ: в случае: б) расстояние: = , уравнения : =0, : =0, или в каноническом виде : , : ;

в) расстояние: =0, уравнения : =0, : =0, или в каноническом виде : , : .

Пример C4 – 4: Треугольник задан координатами своих вершин. Записать уравнения прямых линий: , содержащей сторону треугольника , , содержащей высоту , биссектрис внутреннего и внешнего угла при вершине . Вычислить длину высоты = и угол между высотой и медианой . Рассмотреть случаи: б) (2,–2), (6,1), (–2,0).

Ответ: уравнения : , : , высота треугольника = =4, для угла ^ имеем = , уравнения биссектрис : , : =0.

< * * * * * >

☺ ☻ ☺

Если в пространстве заданы точка и вектор , перпендикулярный плоскости , то уравнение этой плоскости можно записать в виде:

: = 0, (1)

уравнение (1) можно записать в виде: , или – общее уравнение плоскости.

Если уравнение умножить на число: , причём выбирают знак , если , и знак , если , то получают запись: , которую называют уравнением плоскости в нормальном виде. Нормализованное уравнение удобно применять при вычислении отклонения точки от плоскости , определяемое выражением: = , и расстояния: . Нормальное уравнение плоскости также записывают в виде:

: . (2)

Если в пространстве заданы три точки , , , то уравнение плоскости записывают в виде:

: . (3)

Выберем точки специально: , , . Получим уравнение плоскости в виде: – уравнение в отрезках. (4)

Если прямая линия в пространстве задана точкой и направляющим вектором , то её уравнение записывают в виде:

: – каноническое уравнение. (5)

Частным случаем уравнений (5) являются уравнения для случая, когда заданы две точки: , , принадлежащие : достаточно в уравнениях (5) принять: = и :

: или (6)

Используя уравнения (5), легко получить специальную запись уравнений, широко применяемых в механике:

Дата добавления: 2014-12-26