ЗАНЯТИЕ 6. Контрольная работа №1. Прием части-1 БДЗ. 4 страница

: – параметрическая форма уравнений прямой линии. (7)

При решении многих задач полезно определение прямой в пространстве как линии пересечения двух плоскостей

: и : .

В этом случае уравнение прямой линии может быть представлено в виде системы уравнений: (8)

Конечно, система (8) определяет прямую линию лишь в случае, если плоскости пересекаются. Признак пересечения достаточно просто наблюдается: векторы нормалей плоскостей = и = не параллельны!

Плоскости , имеющие общую точку , пересекаются по прямой линии, проходящей через эту точку. Учитывая свойства прямой, можно продолжить: плоскости в этом случае имеют бесчисленное множество общих точек. Пусть имеем плоскости:

Удобно использовать формулы: – для вычисления угла между плоскостями и ; – для вычисления угла между плоскостью и прямой линией .

Для нахождения точки пересечения прямой линии с плоскостью применяют общее уравнение плоскости и уравнение прямой линии в виде (7). Тогда:

. (9)

Вычисляя из (9) значение параметра , затем используя уравнения (7), легко получают координаты точки пересечения.

Замечание: представленные формулы помогут достаточно быстро вспомнить результаты из теории аналитической геометрии, применяемые в рассматриваемом Занятии!

••• ≡ •••

Пример 1 – 182: Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно векторам и , в случае: а) (1,1,1), =(0,1,2), =(–1,0,1); б) (0,1,2), =(2,0,1), =(1,1,0).

Решение:

Замечание: задачу можно решить не одним способом; для сравнения к случаям а) и б) применим разные способы решения!

Для случая а):

1). Вычисляем вектор нормали плоскости , используя векторное произведение векторов и : = = = =(1,–2,1).

2). Запишем общее уравнение плоскости, используя точку и вектор нормали :

: = 0, или : =0.

Для случая б):

1). Для произвольной точки искомой плоскости , построим (используя известное правило) вектор = = .

2). Воспользуемся условием компланарности трёх векторов , , и : =0, откуда получаем уравнение плоскости : =0.

Ответ: в случае: а) : =0; б) : =0.

Пример 2 – 185: Заданы две плоскости : =0 и : =0. Определить их взаимное расположение: пересекаются, параллельны или совпадают. Найти расстояние между плоскостями и косинус угла между ними.

Решение:

1). Для плоскостей и запишем векторы нормалей: =(–1,2,–1), =(0,1,3). Из записи нормалей следует, что плоскости пересекаются. Это значит, что расстояние между плоскостями равно 0.

2). Вычислим: = = , где – угол между плоскостями и . Учитывая, что угол между плоскостями острый, в ответ запишем значение: = .

Ответ: плоскости пересекаются, причём: = .

Пример 3 – 192: Заданы две плоскости. Написать уравнение плоскостей и , делящих пополам двугранные углы. Рассмотреть случаи:

а) : =0 и : =0;

б) : =0 и : =0.

Решение:

Для случая а):

1). Для плоскостей и запишем векторы нормалей: =(1,–3,2), =(3,–2,–1). Нетрудно заметить, что = = . Из этого следует, что для искомых плоскостей векторы нормалей можно записать в виде: = + =(4,–5,1) и = – =(–2,–1,3).

2). Выделим одну из точек (по усмотрению автора решения!), принадлежащих линии пересечения плоскостей и : . Запишем общее уравнение плоскости:

: = 0, или : =0.

: = 0, или : =0.

Для случая б):

1). Для плоскостей и запишем векторы нормалей: =(2,–1,5), =(1,–5,2). Нетрудно заметить, что = = . Из этого следует, что для искомых плоскостей векторы нормалей можно записать в виде: = + =(3,–6,7) и = – =(1,4,3).

2). Выделим одну из точек (по усмотрению автора решения!), принадлежащих линии пересечения плоскостей и : (–1,0,1). Запишем общее уравнение плоскости:

: = 0, или : =0.

: = 0, или : =0.

Ответ: а) : =0, : =0; б) : =0, : =0.

Пример 4 – 194: Определить, лежат ли точки (2,–1,1) и (1,2,–3) в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных при пересечении двух плоскостей. Рассмотреть случаи: а) : =0 и : =0.

Решение:

0). Учитывая, что в рассматриваемой задаче не требуется измерение отклонений при помощи единичного вектора, а достаточно знать только знаки отклонений точек и от плоскостей и , будем использовать непосредственно общие уравнения заданных плоскостей. Подставляя координаты точек и в уравнения плоскостей и , получим величины: , затем , . Сопоставление знаков этих величин позволит определять взаимное расположение точек , относительно плоскостей и .

1). Вычислим для варианта а): для точки : =3×2–(–1)+2×3–3>0 и =2–2×(–1)–3+4>0 ® это значит, что точка располагается над плоскостью и над плоскостью ; для точки : =3×1–2+2×(–3)–3<0 и =1–2×2–(–3)+4>0. Это значит, что точка располагается под плоскостью и над плоскостью . Следует: точки , расположены в смежных углах над плоскостью . На рисунке показано положение точек , относительно плоскостей и , соответствующее полученному решению.

Замечание: исключение операции нормализации общих уравнений плоскостей и существенно снижает трудоёмкость решения примера.

Ответ: в случае а) точки , расположены в смежных углах (над плоскостью ).

Пример 5 – 196: Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку (1,1,–1) перпендикулярно плоскостям : =0 и : =0.

Решение:

Замечание: задачу можно решить не одним способом; лучше свести к уже использованному решению!

1). Для плоскостей и запишем векторы нормалей: =(2,–1,5), =(1,3,–1).

2). Примем: = и = . В таком случае мы имеем Пример 1-182: через точку провести плоскость параллельно заданным векторам!

3). Вычислим вектор нормали плоскости , используя векторное произведение векторов и : = = = =(2,–1,–1).

4). Запишем общее уравнение плоскости, используя точку и вектор нормали :

: = 0, или : =0.

Ответ: уравнение плоскости: : =0.

Пример 6 – 198: Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (2,0,–3) параллельно: 1) вектору =(2,–2,5); 2) прямой: ; 3) оси ; 4) оси ; 5) оси .

Решение:

Общее: Каноническое уравнение прямой : , где – точка, принадлежащая прямой, – направляющий вектор прямой. В нашем случае общая точка (2,0,–3) для всех случаев фиксирована. Поэтому : .

1). Направляющий вектор задан явно. Имеем : .

2). Направляющий вектор задан параллельной прямой. Имеем : .

3). Направляющий вектор неявно задан как единичный вектор оси : =(1,0,0). Имеем : .

4). Направляющий вектор неявно задан как единичный вектор оси : =(0,1,0). Имеем : .

5). Направляющий вектор неявно задан как единичный вектор оси : =(0,0,1). Имеем : .

По всем заданным вариантам получены окончательные результаты: записываем ответ.

Ответ: 1). ; 2). ; 3) ;

4). ; 5) .

•◄ Дополнительно ►•

Пример 7 – 218 Куб задан своими вершинами: =(0,0,0), =(1,0,0), =(1,1,0), =(0,1,0), =(0,0,1), =(1,0,1), =(1,1,1), =(0,1,1). Выполнить следующие действия: а) написать уравнения прямых линий и ;

б) вычислить расстояние между прямыми линиями и ;

в) написать уравнение общего перпендикуляра между прямыми линиями и .

Решение:

Общее: хотя в геометрии чертёж обычно предназначен только для иллюстрации рассуждений, в рассматриваемом примере с помощью чертежа все задания можем легко выполнить, глядя на чертёж!

Дата добавления: 2014-12-26