Бесконечно малые и бесконечно большие функции. 2 страница

8.6. Построить гиперболу . Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнение асимптот.

8.7. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох, с вершиной в начале координат, если длиа некторой хорды этой параболы, перпендикулярной оси Ох, равна 16, а расстояние этой хорды от вершины равно 6.

8.8. На параболе найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

8.9. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью. Сделать чертеж.

8.10. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью. Сделать чертеж.

8.11. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью. Сделать чертеж.

Задания для самостоятельной работы

8.12. Найти координаты центра и радиус окружности .

8.13. Составить уравнение окружности, проходящей через точки и , если её центр лежит на прямой .

8.14. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точку и имеющего большую полуось .

8.15. Выяснить, какую кривую задает уравнение . Найти координаты фокусов и эксцентриситет.

8.16. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние между её фокусами равно 26, а эксцентриситет равен .

8.17. Гипербола, оси которой совпадают с осями координат, проходит через точки и . Найти её каноническое уравнение.

8.18. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Ох и отсекающей от прямой хорду длиной .

8.19. Парабола отсекает от прямой, проходящей через начало координат, хорду, длина которой равна . Составить уравнение этой прямой.

8.20. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью. Сделать чертеж.

8.21. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью. Сделать чертеж.

8.22. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью. Сделать чертеж.

Практическое занятие № 9 (2 часа).

Тема: Поверхности второго порядка.

1. Общее уравнение второго порядка с тремя переменными.

2. Эллиптический, гиперболический и параболический цилиндры.

3. Эллипсоид.

4. Двуполостный гиперболоид.

5. Однополостный гиперболоид.

6. Эллиптический параболоид.

7. Гиперболический параболоид.

Методические рекомендации к занятию. Внимание при изучении данной темы следует обратить на изображение поверхностей второго порядка. Для представления о форме поверхности второго порядка необходимо исследовать её уравнение методом сечений.

Контрольные вопросы

1. Какой вид имеет общее уравнение второго порядка с тремя переменными в декартовой системе координат?

2. Какие поверхности называются поверхностями второго порядка?

3. Какие множества точек могут быть заданы уравнениями второго порядка с тремя переменными?

4. Какой вид имеют канонические уравнения эллиптического, гиперболического и параболического цилиндров?

5. Какой вид имеет каноническое уравнение эллипсоида?

6. Имеет ли эллипсоид плоскость симметрии? Есть ли у него центр симметрии?

7. В каких случаях эллипсоид называется эллипсоидом вращения?

8. Какое уравнение называется каноническим уравнением сферы, а какое – общим уравнением сферы?

9. Какой вид имеет каноническое уравнение двуполостного гиперболоида? В каком случае получается двуполостный гиперболоид вращения?

10. Имеет ли двуполостный гиперболоид плоскости симметрии? Есть ли у него центр симметрии?

11. Какой вид имеет каноническое уравнение однополостного гиперболоида? В каком случае получается однополостный гиперболоид вращения?

12. Имеет ли однополостный гиперболоид плоскости симметрии? Есть ли у него центр симметрии?

13. Какой вид имеет каноническое уравнение эллиптического параболоида? В каком случае получается параболоида вращения?

14. Имеет ли эллиптический параболоид плоскости симметрии? Есть ли у него центр симметрии?

15. Какой вид имеет каноническое уравнение гиперболического параболоида?

16. Имеет ли гиперболический параболоид плоскости симметрии? Есть ли у него центр симметрии?

17. Какой вид имеет каноническое уравнение конуса? В каком случае получается круговой конус?

18. Имеет ли конус плоскости симметрии? Есть ли у него центр симметрии?

Практические задания, выполняемые на занятии

9.1. Доказать, что уравнение является уравнением сферы. Найти её центр и радиус.

9.2. Какая поверхность в пространстве определяется уравнением:

а) ;

б) .

9.3. Какую поверхность определяют в пространстве уравнения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

9.4. Построить тела, ограниченные поверхностями:

а) , , , ;

б) , ;

в) , , , .

9.5. Найти множество точек пересения поверхности :

а) с плоскостью ;

б) с плоскостью ;

в) с прямой .

Задания для самостоятельной работы

9.6. Какая поверхность в пространстве определяется уравнением:

а) ;

б) .

9.7. Какую поверхность определяют в пространстве уравнения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

9.8. Построить тела, ограниченные поверхностями:

а) , , ;

б) , , ;

в) , .

9.9. Составить уравнение поверхности, образованной при вращении вокруг оси OZ (мнимой оси) гиперболы, лежащей в плоскости XOZ и имеющей центр в начале координат, действительную полуось и эксцентриситет . Определить тип поверхности.

9.10. Найти точки пересечения поверхности и прямой:

а) и ;

б) и ;

в) и .

Практическое занятие № 10 (2 часа).

Тема: Множества. Бинарные отношения на множествах.

1. Понятие множества. Виды множеств.

2. Подмножества. Свойства включения.

3. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность множеств, дополнение множества до универсального. Свойства операций.

4. Прямое (декартово) произведение множеств.

5. Бинарные отношения.

6. Свойства отношений. Отношение эквивалентности. Отношение частичного порядка.

7. Разбиение множества на классы эквивалентности.

Методические рекомендации к занятию. Понятие «множества» является одним из фундаментальных понятий современной математики. Все разделы математики, так или иначе, занимаются множествами: математический анализ – числовыми множествами, геометрия – множествами точек, теория вероятностей – множествами случайных событий. Поэтому студенты должны прочно усвоить понятие множества, знать операции над множествами, свойства этих операций. «Отношение» также является важным математическим понятием, которое, в частности, используется в любой аксиоматике геометрии.

Контрольные вопросы

1. Какими способами можно задать множество?

2. Что называется характеристическим свойствам множества?

3. Какое множество называется конечным?

4. Какие множества называются равными?

5. Как доказать равенство двух множеств?

6. Что называется подмножеством данного множества?

7. Какое множество называется пустым?

8. Что называется множеством-степенью?

9. Что называется пересечением множеств?

10. Что называется объединением множеств?

11. Что называется разностью множеств?

12. Что называется дополнением множеств?

13. В каком случае разность А\В есть дополнение множества В до множества А?

14. Что называется прямым произведением двух множеств?

15. Что называется бинарным отношением?

16. Какое отношение называется рефлексивным?

17. Какое отношение называется симметричным?

18. Какое отношение называется транзитивным?

19. Какое отношение называется антисимметричным?

20. Когда отношение является отношением эквивалентности?

21. Когда отношение является отношением частичного порядка?

22. Что называется классом эквивалентности?

23. Каковы свойства классов эквивалентности?

24. Что называется фактор-множеством?

Практические задания, выполняемые на занятии

10.1. Верны ли следующие утверждения?

а) ; б) ; в) .

10.2. Составить множество-степень данного множества

а) ;

б) .

10.3. Даны три множества . Найти .

а) , , ;

б) , , ;

в) , , .

10.4. Доказать равенства, пользуясь свойствами операций над множествами:

а) ; в) ;

б) ; г) .

10.5. Доказать: а) закон де-Моргана ;

б) закон поглощения .

10.6. Доказать равенство множеств А и В:

, .

10.7. Даны два множества , . Найти декартово произведение множеств , .

10.8. Доказать, что .

10.9. Если , то будет ли отношение

а) рефлексивным?

б) симметричным?

в) транзитивным?

г) транзитивным?

д) антисимметричным?

е) антисимметричным?

10.10. Задать на множестве отношение и выяснить, какими свойствами оно обладает.

10.11. Выяснить, является ли отношение отношением эквивалентности:

а) ;

б) ;

в) ;

г) А – множество всех людей, , если фамилия х начинается с той же буквы, что и фамилия у.

10.12. Являются ли следующие множества разбиением множества А на классы:

а) .

1) , ;

2) , ;

3) ;

б)

1) ;

2) ;

3) .

Задания для самостоятельной работы

10.13. Записав множества, перечислить их элементы:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

10.14. Даны множества . Найти :

а) , ;

б) , ;

в) , .

10.15. Изобразить на координатной плоскости следующие множества:

а) ;

б) ;

в) .

10.16. Используя диаграммы Венна, доказать следующие равенства:

а) ; б) .

10.17. Доказать равенства, пользуясь свойствами операций над множествами: .

Практическое занятие № 11 (2 часа).

Тема: Алгебраические структуры: группы, кольца, поля.

1. Алгебраическая операция, алгебра, подалгебра.

2. Группа, подгруппа, критерий подгруппы.

3. Кольцо, подкольцо, критерий подкольца.

4. Поле, подполе, критерий подполя.

Методические рекомендации к занятию. Наука алгебра изучает множества с введенными на них операциями и отношениями – алгебраические структура. Знакомство студентом с таким алгебраическим структурами как группы, кольца и поля, даст им предстваление о единых фундаментальных основах современной математики.

Контрольные вопросы

1. Что называется n-местной (n-арной) алгебраической операцией?

2. Какая операция называется одноместной (унарной)? Привести примеры.

3. Какая операция называется двуместной (бинарной)? Привести примеры.

4. Что называется алгеброй?

5. Что называется сужением операции?

6. Что называется подалгеброй?

7. Каков критерий подалгебры.

8. Что называется группой? Примеры групп.

9. Какая группа называется абелевой?

10. Какая группа называется аддитивной?

11. Какая группа называется мультипликативной?

12. Как называется симметричный элемент в аддативной группе?

13. Как называется симметричный элемент в мультипликативной группе?

14. Что называется подгруппой? Примеры подгрупп.

15. Каков критерий подгруппы?

16. Что называется кольцом? Примеры колец.

17. Какие элементы называются делителями нуля в кольце?

18. Что называется подкольцом? Примеры подколец?

19. Каков критерий подкольца?

20. Что называется полем? Примеры полей.

21. Что называется подполем? Примеры подполей.

22. Каков критерий подполя?

Практические задания, выполняемые на занятии

11.1. Какие из операций являются алгебраическими, какой арности?

а) , ;

б) на ;

в) на ;

г) , .

11.2. Какие из операций являются бинарными алгебраическими, какими свойствами они обладают (ассоциативность, коммутативность, существование нейтрального элемента, существование симметричного элемента):

а) «–» в ; г) «·» в ;

б) «+» в ; д) «·» в ;

в) «+» в ; е) «·» в .

11.3. Является ли группой данной пара

а) , где ;

б) , где .

11.4. Образует ли множество подгруппу группы , где .

11.5. Образует ли следующие множества подгруппу группы , где :

а) ; б) ; в) .

11.6. Доказать, что данная тройка является кольцом , где

. Какими свойствами оно обладает?

11.7. Какие из следующих множеств образуют подкольцо кольца , где :

а) ; б) .

11.8. Доказать, что , где поле.

Задания для самостоятельной работы

11.9. Какие из операций являются алгебраическими, какой арности?

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

11.10. Какие из операций являются бинарными алгебраическими, какими свойствами они обладают (ассоциативность, коммутативность, существование нейтрального элемента, существование симметричного элемента):

Дата добавления: 2014-12-26