Дифуравнения второго порядка

В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде

где F − заданная функция указанных аргументов.

Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производной y'', то его можно представить в следующем явном виде:

В частных случаях функция f в правой части может содержать лишь одну или две переменных. Такие неполные уравнения включают в себя 5 различных типов:

С помощью определенных подстановок эти уравнения можно преобразовать в уравнения первого порядка.

В случае произвольных дифференциальных уравнений второго порядка, их порядок можно понизить, если эти уравнения обладают определенной симметрией. Ниже мы обсудим 2 типа таких уравнений (случаи 6 и 7):

• Функция F (x, y, y', y'') является однородной функцией аргументов y, y', y'';
• Функция F (x, y, y', y'') является точной производной функции первого порядка Ф (x, y, y').

Итак, рассмотрим указанные случаи понижения порядка более подробно.

Случай 1. Уравнение вида y''= f (x)

Если дано уравнение y'' = f (x), то его порядок можно понизить введением новой функции p (x), такой, что y' = p (x). В результате мы получим дифференциальное уравнение первого порядка

Решая его, находим функцию p (x). Затем решаем второе уравнение

и получаем общее решение исходного уравнения.

Случай 2. Уравнение вида y''= f (y)

Здесь правая часть уравнения зависит только от переменной y. Вводим новую функцию p (y), полагая y' = p (y). Тогда можно записать:

и уравнение принимает вид:

Решая его, находим функцию p (y). Затем находим решение уравнения y' = p (y), то есть функцию y (x).

Случай 3. Уравнение вида y''= f (y' )

В данном случае для понижения порядка вводим функцию y' = p (x) и получаем уравнение

которое является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными p и x. Интегрируя, находим функцию p (x) и затем функцию y (x).

Случай 4. Уравнение вида y''= f (x,y' )

Используем подстановку y' = p (x), где p (x) − новая неизвестная функция, и получаем уравнение первого порядка

Интегрируя, определяем функцию p (x). Далее решаем еще одно уравнение 1-го порядка

и находим общее решение y (x).

Случай 5. Уравнение вида y''= f (y,y' )

Для решения такого уравнения, также как и в случае 2, вводим новую функцию p (y), полагая y' = p (y). Дифференцирование этого равенства по x приводит к уравнению

В результате наше исходное уравнение записывается в виде уравнения 1-го порядка

Решая его, находим функцию p (y). Затем решаем еще одно уравнение первого порядка

и определяем общее решение y (x).

Рассмотренные 5 случаев понижения порядка не являются независимыми. Исходя из структуры уравнений, ясно, что случай 2 следует из случая 5, а случай 3 вытекает из более общего случая 4.

Случай 6. Функция F(x, y, y', y'') является однородной функцией аргументов y, y', y''

Если левая часть дифференциального уравнения

удовлетворяет условию однородности, т.е. для любого k справедливо соотношение

то порядок уравнения можно понизить с помощью подстановки

После нахождения функции z (x) исходная функция y (x) находится интегрированием по формуле

где C ₂ − постоянная интегрирования.

Случай 7. Функция F(x, y, y', y'') является точной производной

Если удается найти такую функцию Ф (x, y, y'), не содержащую второй производной y'' и удовлетворяющую равенству

то решение исходного уравнения представляется интегралом

Таким образом уравнение второго порядка можно привести к уравнению первого порядка.

В некоторых случаях левую часть исходного уравнения можно преобразовать в точную производную, используя интегрирующий множитель.

8. Линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение

- корни характеристического уравнения.

Общее решение

1. Все корни характеристического уравнения различные, тогда

Если среди корней есть пары комплексно-сопряженных корней, например , решение можно записать в виде

2. Среди корней характеристического уравнения есть кратные, например, имеет кратность k (остальные - простые), тогда

Если среди корней есть пары сопряженных корней кратности k, например , решение можно записать в виде

9. Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами записывается в виде

где a ₁, a ₂,..., a_n − постоянные числа, которые могут быть действительными или комплексными.

Используя линейный дифференциальный оператор L (D), данное уравнение можно представить в виде

где

Для каждого дифференциального оператора с постоянными коэффициентами можно ввести характеристический многочлен

Алгебраическое уравнение

называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения.

Согласно основной теореме алгебры, многочлен степени n имеет ровно n корней с учетом их кратности. При этом корни уравнения могут быть как действительными, так и комплексными (даже если все коэффициенты a ₁, a ₂,..., a_n действительные).

Рассмотрим более детально различные случаи корней характеристического уравнения и соответствующие формулы общего решения дифференциального уравнения.

Дата добавления: 2014-12-26