Теорема Поста о полноте

Задачи

Замыкание и замкнутые классы

Определение 1. Пусть M Í Р ₂. Замыканием М называется множество всех функций из P ₂, которые можно выразить формулами над М. Замыкание М обозначается [ M ].

Определение 2. Множество функций М называется замкнутым классом, если [ M ]= M.

Пример 1.

1) P ₂ – замкнутый класс.

2) Множество {1,x₁Åx₂} не является замкнутым классом. Его замыканием будет класс линейных функций: [{1, x₁ Å x₂}] = {f(x₁,..., x_n) = c₀ Å c₁x₁ Å... Å c_nx_n}. Действительно, по определению формулы над М, функция f(G₁, x₃), где f – есть сумма по модулю 2, G₁ – функция х₁ Å х₂, будет формулой над М: f(G₁, x₃) = (x₁ Å x₂) Å x₃.

З амечание. В терминах замыкания и замкнутого класса можно дать другое определение полноты, эквивалентное исходному:

М – полная система, если [ M ] = P ₂.

3) A = { f (x ₁,..., x_n)| f (1, 1,..., 1) = 0} – незамкнутый класс. Возьмем формулу над этим множеством. Пусть f, g ₁,..., g_n Î A, т.е. f (1, 1,..., 1) = 0, g ₁(1, 1,..., 1) = 0, тогда f (g ₁,..., g_n) Î [ A ]. Посмотрим, принадлежит ли функция f (g ₁,..., g_n) множеству А. f (g ₁(1,..., 1), g ₂(1,..., 1),..., g_n (1,..., 1) = f (0,..., 0)), но f (0,..., 0) не обязано быть равным 0. Действительно, пусть g ₁(x ₁, x ₂) = x ₁ Å x ₂, g ₂(x) = x Î A. Возьмем g ₂(g ₁(x ₁, x ₂)) = x ₁ Å x ₂ Î [ A ], g ₂(g ₁(1, 1)) = 1 Å 1 = 0, следовательно, g ₂(g ₁(x ₁, x ₂)) Ï A, отсюда [ A ] ¹ A и А – незамкнутый класс.

Важнейшие замкнутые классы в Р₂

1) Т₀ - класс функций, сохраняющих константу 0.

Т ₀ = { f (x ₁,..., x_n | f (0,..., 0) = 0, n = 1, 2,...}. Покажем, что Т ₀ является собственным подмножеством Р ₂, т.е. Т ₀ ¹ Æ и Т ₀ Ì Р (не совпадает с Р ₂). Для этого достаточно привести примеры функций, входящих в Т ₀, и примеры функций из Р₂, не входящих в Т ₀: x ₁& x ₂, x ₁Ú x ₂, x Î Т ₀ и x ₁| x ₂, x ₁ x ₂, Ï Т ₀. Покажем далее, что [ Т ₀] = Т ₀. Вложение Т ₀ Í [ Т ₀] очевидно, так как по определению формулы любая функция из Т ₀ является формулой над Т ₀ и, следовательно, принадлежит [ Т ₀]. Покажем, что [ Т ₀]Í Т ₀. Для этого надо показать, что Ф = f (f ₁,..., f_m) Î [ Т ₀], если все функции f, f ₁, f ₂, f ₃,..., f _m Î Т ₀. Надо заметить, что в формуле в качестве функции f ₁ могут быть взяты переменные, которые мы договорились считать тождественными функциями. Тождественная функция принадлежит классу Т ₀, поэтому достаточно показать, что Ф = f (f ₁,..., f_m) Î Т ₀. Для этого рассмотрим следующую функцию: Ф (0,..., 0) = f (f ₁(0,..., 0), f ₂(0,..., 0),...) = f (0,..., 0) = 0.

Число функций, зависящих от n переменных и принадлежащих Т ₀, будет равно

2) T ₁ – класс функций, сохраняющих константу 1.

T ₁ = { f (x ₁,...) | f (1, 1,...) = 1}; x ₁& x ₂, x ₁Ú x ₂, x Î T ₁, х ₁Å х ₂, x ₁ x ₂Ï T ₁, следовательно Т ₁ – собственное подмножество Р ₂.

Покажем, что [ T ₁] Í T ₁, обратное включение следует из определения формулы и замыкания. Так как тождественная функция входит в Т ₁, можно рассмотреть Ф = f (f ₁,..., f_n) Î [ T ₁], где f, f ₁,..., f_n Î T ₁. Найдем Ф (1,..., 1) = f (f ₁(1,..., 1),..., f_n (1,..., 1)) = f (1,..., 1) = 1, следовательно, Ф = f (f ₁,..., f_n) Î T ₁, отсюда следует [ T ₁] = T ₁.

3) S – класс самодвойственных функций .

S = { f (x ₁,...)| f * = f }; x, , x ₁Å x ₂Å x ₃Î S, x ₁& x ₂, x ₁Ú x ₂, x ₁Å x ₂Ï S, следовательно, S – собственное подмножество Р ₂. | S (n)| = . Покажем, что [ S ]Í S. Ф = f (f ₁,..., f_n) Î [ S ], если f, f ₁,..., f_n Î S, а также, что Ф Î S. По принципу двойственности, Ф * = f *(f ₁*,..., f_n *) = f (f ₁,..., f_n) = Ф, отсюда S – замкнутый класс.

4) L – класс линейных функций .

L = { f (x ₁,...)| f = c ₀Å c ₁ x ₁Å...Å c_nx_n }; очевидно, L ¹ Æ, с другой стороны

L ¹ P ₂, так как x ₁& x ₂ Ï L. Заметим, что тождественная функция принадлежит L и | L (n)| = 2 ^{n +1}. Покажем, что [ L ] Í L. Рассмотрим Ф = f (f ₁,..., f_m), где f, f ₁,..., f_n Î L. Тогда Ф = а ₀ Å а ₁(с ₁₀ Å с ₁₁ х ₁ Å...Å c _{1 n}x_{n 1}) Å a ₂(c ₂₀ Å c ₂₁ x ₁ Å c ₂₂ x ₂Å...Å c _{2 n}x_{n 2})Å...Å a_n (c_{m 0} Å c_{m 1}x₁ Å... Å c_mnx_nm) = в ₀ Å в ₁ х ₁ Å...Å в_nх_n Þ Ф Î L.

5) М – класс монотонных функций.

Определение. Набор = (a ₁,..., a_n) предшествует набору = (b ₁,..., b_n) и обозначается , если для 1£ i £ n a_i £ b_i, например: = (0010), = (0110), тогда . Не любые два набора находятся в отношении предшествования, например, наборы (0110) и (1010) в таком отношении не находятся. Отношение предшествования () является отношением порядка на множестве наборов длины n, множество таких наборов будет частично упорядоченным множеством по отношению к операции.

Определение. Функция f (x ₁,..., x_n) называется монотонной, если для двух наборов и , таких что , выполняется f () f (). Функции 0, 1, x, x ₁& x ₂, x ₁ Ú x ₂ Î M, x ₁¯ x ₂, x ₁ Å x ₂, x ₁ ~ x ₂ Ï M.

Для числа монотонных функций, зависящих от n переменных, существуют оценки сверху и снизу, но точное число сосчитать не удается. Покажем, что М замкнутый класс. Рассмотрим функцию Ф Î[ M ], Ф = f (f ₁,..., f_m), где f, f ₁,..., f_m Î M, причем можем считать, что все они зависят от n переменных. Пусть набор = (a ₁,..., a_n), = (b ₁,..., b_n). Рассмотрим Ф (a ₁,..., a_n) = f (f ₁(a ₁,..., a_n), …, f_m (a ₁,..., a_n)) и Ф (b ₁,..., b_n) = f (f ₁(b ₁,..., b_n),..., f_m (b ₁,..., b_n)). Здесь f ₁(a) f ₁(b),..., f_m (a) f_m (b), тогда набор (f ₁(a),..., f_m (a)) (f ₁(b),..., f_m (b)), но тогда Ф (a) Ф (b), так как f Î M, отсюда Ф = f (f ₁,...,) – монотонная функция.

Определение. Функция f есть суперпозиция над M, если f реализуется некоторой формулой над M.

Лемма о немонотонной функции. Отрицание можно получить суперпозицией констант 0 и 1, тождественной функции и немонотонной функции.

Доказательство. Пусть f (x ₁,..., x_n) – немонотонная функция. Тогда существуют наборы и , для которых но Пусть i ₁, …, i_k есть все те номера аргументов, для которых , p =1, …, k. На всех остальных аргументных местах j имеем a_j = b_j. В выражении заменим нули на местах i ₁, …, i_k на x. В результате получим функцию g (x), для которой g (0) = f () = 1 и g (1) = f () = 0. Функция g (x) является отрицанием.

Классы T ₀, T ₁, L, S, M пересекаются, но не совпадают, что видно из следующей таблицы, где «+» означает, что функция принадлежит данному классу и «-» – не принадлежит.

	T 0	T 1	L	S	M
x	+	+	+	+	+
	-	-	+	+	-
	+	-	+	-	+
	-	+	+	-	+
x 1 x 2	+	+	-	-	+

A ={ x, , 0, 1, x ₁ x ₂) не является полной системой функций так как всегда есть функции Î Р ₂ не входящие в эти классы.

1. Доказать, что пересечение любых двух замкнутых классов замкнуто.

2. Доказать, что объединение двух замкнутых классов не всегда замкнуто.

Для того чтобы система функций была полной, необходимо и достаточно, чтобы она не содержалась целиком ни в одном из классов T ₀, T ₁, L, S, M.

Доказательство. Докажем необходимость этого условия. Пусть система

N = { f ₁, f ₂,... f_s,...} полна в Р ₂, покажем, что тогда она не лежит целиком в Q, где через Q обозначим любой из классов T ₀, T ₁, L, S, M. Докажем от противного, пусть N Í Q, очевидно, [ N ] Í [ Q ] = Q, но [ N ] = P ₂, т.к. N – полна в Р ₂, отсюда Р ₂= Q, но это не так. Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Пусть F = { f ₀, f ₁, f_L, f_m, f_s }, где f ₀Ï T ₀, f ₁Ï T ₁, f_L Ï L, f_s Ï S и f_m Ï M. Покажем, что суперпозицией функций системы F можно получить полную систему G = { x ₁& x ₂, }.

1. Пусть g (x) = f ₀(x, …, x). Тогда g (0) = f (0, …, 0) = 1. Далее возможны два случая:

g (1) = 1. Тогда g (x) º 1. Функция h (x) = f ₁(g (x), …, g (x)) = f ₁(1, …, 1) = 0, т.е. h (x) º 0. Получили константы 0 и 1;

g(1) = 0. Тогда g (x) = . По лемме о несамодвойственной функции суперпозицией над { f_s, } можно получить одну из констант, например, 0. Тогда f ₀(0, …, 0) = 1 есть другая константа.

В обоих случаях получили обе константы.

2. По лемме о немонотонной функции суперпозицией над { f_m, 0, 1} можно получить отрицание.

3. По лемме о нелинейной функции суперпозицией над { f_L, 1, } можно получить конъюнкцию. Теорема доказана.

Следствие. Всякий замкнутый класс функций из Р ₂, не совпадающий с Р ₂ содержится, по крайней мере, в одном из замкнутых классов T ₀, T ₁, L, S, M. Действительно, если N не является подмножеством Q, то [ N ] = P ₂, что неверно.

Дата добавления: 2014-12-27