Вопрос 17: ограниченность непрерывной на отрезке функции

Следствие.Пусть функция непрерывна на отрезке, и пусть (). Тогда для любого числа, удовлетворяющего неравенствам (), существует точка такая, что.

$ Рассмотрим функцию . Она непрерывна на отрезке как разность непрерывной по условию функции и постоянной функции. , поэтому существует точка такая, что , т.е. .#

Теорема 17.1.(Вейерштрасс) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда она ограничена на этом отрезке.

$ Будем вести доказательство теоремы методом «от противного». Предположим, что не ограничена на отрезке . Это означает, что для любого числа существует точка такая, что . Последовательно выбирая число равным числам , находим соответствующие точки такие, что . Эти точки образуют бесконечную последовательность, а так как все они принадлежат отрезку , т.е. , эта последовательность является ограниченной. Применяем теорему Больцано-Вейерштрасса для последовательностей, согласно которой существует подпоследовательность последовательности , сходящаяся к некоторому пределу, который будем обозначать . Так как , по теореме о предельном переходе в неравенствах получаем: , т.е. и, следовательно, функция непрерывна в этой точке. Но это означает, что для любой последовательности, в частности, и для последовательности , стремящейся к , последовательность соответствующих значений должна стремиться к . Но , поэтому последовательность стремится к . Получено противоречие с предположением о неограниченности на отрезке .#

Замечание. Если функция непрерывна на интервале , то она может быть неограниченной на этом интервале. Например, функция на интервале непрерывна. Однако для любого числа имеет место неравенство , откуда и значение этой функции в точке равно .

Дата добавления: 2015-04-24