Вычисление площадей плоских фигур

Метод интегрирования по частям

Этот метод основан на использовании следующей формулы интегрирования по частям:

, (24)

где и - непрерывно дифференцируемые функции на отрезке .

Пример 12. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Данный интеграл не может быть вычислен непосредственно ни методом разложения, ни методом замены переменной. Положим . Найдем отсюда . Тогда

11. Некоторые приложения определенного интеграла

Применение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур основано на геометрическом смысле определенного интеграла: площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f (x), осью абсцисс и прямыми линиями x=a и x=b, численно равна определенному интегралу от этой функции на отрезке :

.

Если плоская фигура ограничена прямыми x=a, x=b (a<b) и кривыми y=f₁(x), y=f₂(x), причем f₁(x)<f₂(x) (a<x<b), то ее площадь вычисляется по формуле:

, (25)

В частном случае, когда плоская фигура ограничена снизу осью OX, формула (25) упрощается:

, (26)

Пример 13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми (рис.5) и .

Рис.5

Решение. Найдем точки пересечения кривых: , следовательно . Отсюда , и по формуле (25) имеем

Дата добавления: 2015-04-24