Вещественные (действительные) – числа. Построение конкретной модели множества действительных чисел

Теорема существования точной верхней границы

Сравнение бесконечно малых функций

Свойства бесконечно малых функций.

1. Сумма и разность любого конечного числа бесконечно малой функции, есть бесконечно малая функция

2. Произведение двух бесконечно малых функций, есть бесконечно малая функция.

3. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию, есть бесконечно малая функция.

Бесконечно малые ℒ(х) и 𝛽(х) при х⇾а имеет одинаковый порядок малости и существует два таких положительных числа m и M, что в окрестности точки А выполняет двойное неравенство.

m|ℒ(x)|≤|𝛽(x)≤M|ℒ(x)

|≤|ℒ(x)|≤

ℒ(x) =

β(x) = = x⇾∞

0≤| |≤| |

Бесконечна малая ℒ(х) имеет больший порядок малости чем β(х).

Примечание: предела может не существовать тогда они не сравнимые.

N={1.2.3…}

Z={…-2.-1.0.1.2…} группа по сложении.

Q={ |m∊z∧n∊N} группа по сложению и умножению

= =

1 C=?

= (предположим, что это несократимая дробь)

2= =>

4

Аксиомы

I. R – коммутативная группа по сложению

1. ∀ x,y∊R∃! x+y∊R

2. ∃ x,y,z∊R(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z

3. ∃!0 ∀x∊R=0+x=0

4. ∀ x∃!y|x+y=0 y=-x

5. ∀ x,y x+y=y+x

II. R\{0} – коммутативная группа по умножению

1. ∀ x,y∊R ∃! x·y∊R

2. ∀ x,y,z∊R (x·y)·z=x·(y·z)=xyz

3. ∃! 1 ∀x∊R\{0} 1·x=x

4. ∀x∊R\{0}∃!y| xy=1=>y=

5. ∀x,y x·y=y·z

III. R – упорядочное поле

1. a(b+c)=ab+ac (распределительный закон)

IV. R – упорядочное поле

1. ∀x,y x<y или x>y или x=y

2. x<y, y<z=>x<z

3. x<y, x+a<y+a ∀a∊R

4. b>0, x<y=>bx<by

V. Аксиомы Архимеда

R – Архимедово поле

1. ∀a,b>0 ∃n∊N: a·n>b

Теорема

∀a>0, ε>0 ∃n∊N;

VI. Аксиома Кантера (полноты) принцип вложенных сегментов.

∆=[a;b]={x∊R|a≤x≤b}

d=b-a

Система сегментов вложенная, если

Сумма вложенных сегментов называется сжатой, если ∀ε>0 ∃ ∊N:∀n> dn<ε.

dn⇾0 при n⇾∞

Для всякой сжатой системы сегментов существует ∃℥, которая принадлежит всем сегментам (℥∊ )

Теорема

Точка ℥ - единственная.

Пусть ℥ - не единственная и существует

ρ=| |>0

Выберем ε= . Тогда существует . Противоречие, т.к. | |>dn => ℥ - единственная!

f(x)=0

y=f(x) непрерывна на [a;b] и f(a)·f(b)<0

y f()>0

f(b)>0

a b x

f(a)<0

Система аксиом I-VI определяет множество вещественных чисел с точностью до тождественного изоморфизма.

Опр. Точка d называется нижней гранью множества m, если ∀х∊М выполняется неравенство а≤х

Опр. Точка b называется верхней гранью М, если ∀х∊М выполняется неравенство х≤b.

Опр. Точной верхней гранью множества М называется число, которое обозначает supM,которое является верхней гранью М для кого выполняется supM≤b, ∀b – верхняя грань.

Опр. Точкой нижней гранью мы будем называть число inf является нижней гранью М и для кого выполняется условие infM≥а ∀ – нижняя грань.

Теорема

1. Любое ограниченное множество имеет точную верхнюю грань

2. Любое ограниченное снизу множество имеет точную нижнюю грань.

Доказательство

Множество М ограниченно сверху и не пустое. Тогда существует и является верхней границей. По условию . Делим ∆ [a;b] пополам получаем . Точка либо является верхней гранью множества, либо не является. Если является, то строи = [ ] . Если - не верхняя грань, то строим =[ ], . Строим и … Можем продолжить до ∞. Существует ℥ (по Кантеру), при чем единственная (по теореме), которая ∊ всем сегментам ℥ - точная верхняя грань М (supM) – очевидно.

Множество чисел имеет меру «0», если все числа этого интервала можно накрыть сколь угодно маленьким интервалом ε.

Дата добавления: 2015-03-29