Функция Дирихле

Непрерывные функции

I. Х – область определения функции y=f(x)

а ∊ Х – предельная точка в том смысле, что в любой ε окрестности А есть элементы, не совпадающие с А.

f(a) – функция в точке а определена. Функция f(a) называется непрерывной в точке а, если

∀ε>0 ∃∂(ε)>0 |x-a|<∂: |(f)x-f(a)|<ε

II. ∆y=∆f(a)=f(x)-f(a) – приращение функции в точке х = а +∆х

∆y=∆f(a)=f(a+∆x)-f(a)

Если функция непрерывна в точке а, тогда бесконечно малой превращению аргументов соответствует бесконечно малые превращения функции.

f(x)= g(x) = g(0) = 0

Нет предела ни в какой точке. Разрывна в каждой точке.

В точке о g(x) непрерывна, а в остальных – разрывна.

y

x

Если а – точка непрерывности, то в этой точке знаки функции и лимита можно поменять местами.

III. Функция f(x) называется непрерывной в а, если в а существует предел слева, справа, они равны между собой и совпадают со значением функции в этой точке имеет разрыв.

Примечание: когда говорим о точке разрыва не обязан, чтобы а ∊ х. Точка разрыва может быть также предельной точкой для Х.

y

f(x)=

D(f)=R\

x

x=0 – функция разрыва

Функция f(x) непрерывна на множестве Х, принадлежащем области определения, если он (функция) непрерывна в каждой точке множества.

Если Х = (a;b), a<b, то функция непрерывна на (a;b), если она непрерывна в каждой точке (a;b).

Непрерывна на отрезке [a;b], если она непрерывна: 1) на (a;b); 2) Существует левосторонний и правосторонний пределы: f(a+0)=f(a); f(b-0)=f(b).

Дата добавления: 2015-03-29