Сравнительные результаты оценки систем 11 страница

поэтому справедливо равенство: V_r = V_s + V_m.

Этап 1. В нулевой интервал дискретности приходит первая сумма V_s Передаточная функция системы, реализующей инвестиционный проект, определяется выражением (5.10).

Реакция системы на приход разовой суммы уже была рассмотрена. В данном случае имеем следующее выражение, почти (т.е. с точностью до множителя-константы) совпадающее с (5.11):

Далее с учетом формул (5.12) и (5.14) получим выражение, почти совпадающее с (5.13):

Этап 2. Вторая сумма V_m приходит в первый интервал дискретности с запаздыванием на время t относительно первой суммы. Относительно теории автоматического управления приход суммы V_m - это дополнительное входное воздействие на процесс. Воспользуемся двумя теоремами (см. табл. 5.3):

· теоремой о сдвиге аргумента во времени - для полученияz-преобразования выходной функции при поступлении только суммы V_m с запаздыванием на время τ;

· теоремой линейности - для получения z-преобразования выходной функции и общего вида полиномов P_s (z) и Q_s (z) при суммарном воздействии V_s и V_m.

После этого из (5.12) получим

Далее сравним полиномы знаменателя Q (z) и Q (z): они совпадают.

Шаг 2. Увеличим вспомогательную переменную V_s: V_s = V_s + V_m. Количество частей т увеличим на единицу: т=т +1.

Далее рассматриваем только новое значение т. Увеличим период взноса инвестиций в 2 раза: Т_г - 2Т_r. Опять выберем интервал дискретности τ = Т_г/2. Этот интервал также увеличился в 2 раза, причем т -1частей суммы величиной V_s перечисляется в течение нулевого интервала дискретности, а сумма V_m - в течение первого интервала.

Перейдем к шагу 1 и убедимся, что для нового значения m устойчивость не ухудшится.

Утверждение доказано.

При осуществлении взносов денег в виде т частей оценка устойчивости производится с помощью (5.16) по формуле для Q_s(z). Причем необходимо отметить следующее:

· интервал дискретности определяется соотношением τ = Т_г/2;

· в общем случае в выражении для Q_s(z) происходит изменение коэффициентов а₀, а₁, а₂,, b₀, и b₂ (по сравнению с Q(z)).

Перейдем к общему случаю и предположим, что формула (5.9) несправедлива, так как в ней присутствуют не все значимые тренды.

Утверждение 2. Допустим, что кроме трендов х₁ (t), x₂(t) и x₃(t) удалось найти некоторое дополнительное количество J значимых трендов вида

где К_п и L_n - константы относительно t.

Тогда выражение (5.9) изменится и примет вид:

В этом случае формула оценки устойчивости процесса инвестиций по сравнению с одноразовым взносом всей суммы в нулевой момент времени не изменится.

Доказательство. В соответствии с теоремой линейности и правилами получения z-преобразований каждое слагаемое (5.17) добавляет к функции X(z) в выражении (5.14) слагаемое вида:

где R_n(z) - выражение, получающееся в результате соответствующих z-преобразований.

По сравнению с выражением (5.15) можно предположить изменение полиномов в числителе и знаменателе (обозначим их как P*(z) и Q*(z)). В частности, Q(z) изменится и примет какой-то другой вид: Q*(z). Однако если мы проведем все рассуждения точно так, как доказывали Утверждение 1, то заметим, что формула полинома P*(z) несколько изменится: P(z) ≠ P_s(z) ≠ P*(z), но формула для знаменателя останется неизменной: Q(z) = Q_s(z) = = Q*(z). Изменяются только параметры а₀, а₁, а₂, b₀,, b₁ и b₂, определяемые из соответствующих бизнес-планов. После этого считаем, что утверждение доказано.

5.4.3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЦЕССА

Выше было доказано, что если выходные результаты деятельности инвестора в будущем можно представить в виде временного ряда (5.18), то при любом 4 ≤ J < ∞ знаменатель передаточной функции W(z) определяется выражением вида

причем график перечисления инвестиционных сумм влияет только на параметры а₀, а₁, а₂, b₀,, b₁ и b₂, основных трендов переходного процесса.

Введем в рассмотрение окружность единичного радиуса на комплексной плоскости: . Обозначим через п степень полинома Q(z). В нашем случае п =4.

После этого можно применить критерий Михайлова в следующей формулировке:

1) для устойчивости дискретных систем достаточно, чтобы годограф знаменателя Q (z) передаточной функции системы Ф(z)при однократном изменении z на комплексной плоскости по окружности единичного радиуса от точки с координатами Re =1и Jm=0 против часовой стрелки после оборота (0 ≤ φ ≤2л) охватывал начало координат комплексной плоскости п раз;

2) если система неустойчива, то число корней вне единичного круга (порядок неустойчивости) равно разности между степенью полинома и числом оборотов годографа вокруг начала координат.

В общем виде Q(z) - это полином вида:

Очевидно, что Q (z) имеет четыре корня. Сделаем подстановку в выражение (5.19). Сгруппируем слагаемые полинома так, чтобы выделить действительную и мнимую части:

После этого получим:

Годограф получается расчетным путем на компьютере. На рис. 5.8, а показан пример получения графика переходного процесса при анализе одного из вариантов инвестиционных проектов, связанных с землепользованием. Время завершения переходного процесса t рассчитывает компьютерная программа, которая численно решает систему нелинейных уравнений. Годограф для соответствующего управления освоением инвестиций показан на рис. 5.8, б.

Таким образом, получен метод численной оценки устойчивости с использованием критерия Михайлова.

5.5. МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОБЪЕМА ФИНАНСИРОВАНИЯ С УЧЕТОМ УСТОЙЧИВОСТИ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЦЕССА

Вероятность риска неосвоения выделенных средств Р_т часто не поддается математическому расчету и может быть оценена только экспертами, т.е. субъективно. Поэтому введем в рассмотрение показатель риска R, который получается при оценке степени устойчивости, и если нет других способов, то он предлагается в качестве объективной приближенной оценки вероятности Р_г.

Вероятность риска Р_г в какой-то степени можно дополнить или заменить следующим показателем. Обозначим через g_r - количество витков годографа при реализации выбранной стратегии управления освоением инвестиций. Тогда безразмерная величина R, имеющая конечное число значений и определяемая как

R=1- g _r / n

может служить одним из экспертных показателей степени риска и характеризовать вероятность (вес) рисковой ситуации. Во всяком случае R имеет аксиоматические свойства:

· показатель степени риска R находится в пределах [ 0, 1 ];

· если система устойчива (R =0), то вероятность риска Р_r меньше по сравнению с теми случаями, когда из-за неправильного управления неустойчивость увеличивается;

· если система имеет максимальную неустойчивость (R=l), то вероятность риска Р_r увеличивается;

· безразмерная относительная величина R удобна и тем, что в некоторых случаях показатель степени полинома в знаменателе передаточной функции может превысить значение 4.

Введем в рассмотрение интегральный показатель качества управления Е, который основан на определении «отложенной выгоды» суммарного эффекта (см. рис. 5.36). Площадь прямоугольника A=a₂∙ t_p состоит из двух слагаемых: Е_под - полученная выгода и E_под - отложенная выгода. В качестве показателя эффективности решений использована величина Е (а₀, а₁, а₂,, b₀, b₁,b₂, t_p)= E_пол – E_отл

Величина Е (а₀, а₁, а₂,, b₀, b₁,b₂, t_p) - это выигрыш (доход), который используется в процедуре принятия решений (дереве решений) для получения ОДО и ОЦ _т.и.

Введем в рассмотрение переменную S_ИНВ - объем финансирования и определим его конкретное значение S_ИНВ= V_p. Рассмотрим зависимость основных параметров процесса освоения выделяемых средств от объема финансирования:

· вероятности риска неосвоения выделенных средств Р_г совместно с полученным выше показателем степени риска R;

· финансовых результатов - выходных параметров

Вероятность риска неосвоения выделенных средств Р_r зависит от выделенной суммы инвестиций S_инв так, как показано на рис. 5.9, а. Эта вероятность риска имеет обратную зависимость от выделенной суммы инвестиций. Однако в точке S_инв = 0, т.е. при отсутствии финансирования вероятность риска равна нулю, а не единице. Затем при малых значениях S_um эта вероятность скачком увеличивается до максимального значения (разрыв функции), а затем начинает монотонно уменьшаться. Вероятность риска Р_r плохо поддается оценке. Значками (§) показаны дискретные значения показателя степени риска R, которые, во-первых, можно рассчитать и, во-вторых, можно использовать в качестве первого приближения неизвестной вероятности Р_r (изображены пунктирной линией).

Выходные параметры а_х (рис. 5.9, 6) выражены в относительных единицах, соответствуют рентабельности и являются значениями переменной J_pem.

Объем выделенных средств может приводить к положительному эффекту (например, к прибыли) только начиная с определенной пороговой величины.

Малые объемы выделяемых средств могут быть просто потеряны (t_p → ∞), что, в свою очередь, приведет к отрицательному эффекту (к убыткам).

Вблизи пороговой величины увеличение а_х происходит почти скачкообразно. При значительной величине S_инв рост положительного эффекта выходных параметров начинает замедляться.

Если S_инв необоснованно велика, то вместо роста можем получить спад, так как появятся «лишние», неосвоенные, средства.

С учетом отмеченных особенностей рассмотренных параметров создана следующая методика определения рационального объема финансирования. Она представляет многоэтапную итерационную процедуру, использующую программы расчета параметров переходного процесса и годографа на компьютере. На всех этапах методики для каждого значения S _инв определяются выходные параметры а_x, показатель степени риска R, показатель качества управления Е и время переходного процесса t_p. Показатель Е оценивается при соответствующем переборе известных на данный момент альтернативных вариантов реализации выделенных средств. Выбирается вариант, для которого значение Е будет минимальным (без ухудшения показателя степени риска R).

Дата добавления: 2015-04-29