Метод минимальных путей и минимальных сечений

Данный метод дает более точные оценки интервалов надежности. Минимальным путем называется множество элементов системы, для которого выполняются два свойства:

1) если все элементы, принадлежащие мини-пути, работают, то система работает;

2) если отказали все элементы, не принадлежащие мини-пути и хоть один из элементов мини-пути, то система откажет. Пример 1.

A. Для последовательного соединения единственным мини-путем является все множество элементов системы.

B. Для параллельного соединения каждый элемент системы является отдельным мини-путем.

C. Для мостиковой схеме определим все мини-пути: {1,3}, {2,4}, {1,5,4}, {2,5,3}.

Мини-путь назовем работающим, если работают все входящие в него элементы. Вероятность работы мини-пути равна произведению вероятностей работы всех входящих в этот мини-путь элементов. Если хоть один из мини-путей системы работает, то работает вся система. И наоборот, если все мини - пути не работают, то и система откажет. Таким образом, отказ системы заключается в отказе всех мини-путей. Но если первый и второй мини-пути не содержат общих элементов, то отказы их независимы. Если же мини-пути содержат общие элементы, то отказ одного из них, очевидно, увеличивает вероятность отказа другого. Получаем, что , т.е. вероятность отказа системы больше или равна произведения вероятностей отказа мини-путей. Следовательно, если мы все мини - пути соединим параллельно, то получим новую систему с надежностью, не меньшей, чем надежность исходной системы. Итак, методика получения оценки надежности сверху:

1)находим все мини - пути системы;2)элементы каждого мини-пути соединяем последовательно;3) все полученные на предыдущем шаге системы с последовательным соединением соединяем параллельно.

Полученная система с последовательно- параллельным соединением имеет не меньшую надежность, чем исходная система.

Пример 2.

A. Для последовательного соединения мини-путь один, и он совпадает с исходной системой.

B. Для параллельного соединения существует n мини-путей, состоящих из одного элемента, и их параллельное соединение совпадает с исходной системой.

C. Для мостиковой схемы параллельное соединение мини-путей дает систему на рисунке 4.11.

Надежность этой системы .

Следовательно, для мостиковой схемы получаем оценку сверху .

Минимальным сечением -множество элементов системы, для которого выполняются два свойства:

1)если работают все элементы, не принадлежащие мини-сечению и хоть один из элементов мини-сечения, то и система работает;

2)если все элементы, принадлежащие мини-сечению, отказали, то и вся система отказала. Пример 3.

A. Для системы с последовательным соединением элементов каждый элемент является мини-сечением системы. Других мини-сечений нет.

B. Для системы с параллельным соединением элементов единственным мини-сечением является все множество элементов системы.

C. Для мостиковой схемы мини-сечениями являются: {1,2}, {3,4}, {1,5,4}, {2,5,3}.

Мини-сечение назовем работающим, если в нем работает хоть один из элементов. Каждому мини-сечению сопоставим систему из параллельно соединенных элементов этого мини-сечения. Система будет работать тогда и только тогда, когда будет работать все ее минимальные сечения. Вероятность работы системы больше или равна произведению вероятностей работы мини-сечений. Следовательно, если мы все мини-сечения соединим последовательно, то получим новую систему с надежностью не большей, чем надежность исходной системы. Итак, методика получения оценки надежности снизу:

1)находим все мини-сечения системы; 2)элементы каждого мини-сечения соединяются параллельно;

3)все полученные на предыдущем шаге системы с параллельным соединением соединяем последовательно.

Надежность полученной системы с последовательно- параллельным соединением не превышает надежности исходной системы.

Пример 4.

A. Для системы с последовательным соединением построенная таким образом система совпадает с исходной.

B. Для системы с параллельным соединением получаем аналогичный результат.

C. Для мостиковой схемы последовательное соединение мини-сечений приводит к системе на рисунке 4.12.

Надежность этой системы .

Следовательно, для мостиковой схемы получаем оценку надежности снизу .

Структуры типа “k из n”

Не для всех систем удается построить структурную схему надежности. Примерами систем, для которых нет структурной схемы, являются так называемые структуры типа “k из n” - системы из n элементов, имеющих одинаковые функции надежности. Структура типа “k из n” работает тогда и только тогда, когда работают по крайней мере k ее элементов. При k=1 такая структура превращается в параллельное соединение, при k=n - в последовательное соединение. Пусть функция надежности каждого элемента структуры p(t). Тогда вероятность того, что в момент t в структуре работает ровно i элементов, определяется по формуле Бернулли . Следовательно, надежность структуры типа “k из n” равна

.

Предположим, что все элементы структуры имеют показательное распределение наработки до отказа с интенсивностью l. Определим среднюю наработку до отказа всей системы. Воспользуемся методом графа состояний. Для структуры типа “k из n” граф состояний изображен на рисунке 4.13.

Здесь - состояние, когда работают все n элементов,..., - работает к элементов, - отказ системы.

Среднее время пребывания системы в состоянии будет равно . Следовательно, средняя наработка структуры типа к из n равна СТРУКТУРНАЯ ФУНКЦИЯ НАДЕЖНОСТИ

Часто вместо структурной схемы надежности системы используют структурную функцию надежности.

Рассмотрим систему, состоящую из n элементов с индикаторами состояния :

Структурная или индикаторная, функция системы определяется следующим образом

Структурная функция системы является булевой функцией, поэтому ее часто определяют с помощью логических операций. Система из последовательно соединенных элементов имеет структурную функцию

Для системы из параллельно соединенных элементов структурная функция имеет вид

. Для структуры типа к из n структурная функция выглядит следующим образом

Для задания структурной функции сложной системы можно использовать мини-пути и мини-сечения.

Так как система работает тогда и только тогда, когда работает хоть один из ее мини путей, то структурную функцию можно задать как дизъюнктивную нормальную форму, в которой каждая элементарная конъюнкция является конъюнкцией элементов соответствующего мини-пути.

Например, для мостиковой схемы структурную функцию можно задать как:

.

С другой стороны, система работает тогда и только тогда, когда работают все ее мини-сечения. Поэтому структурную функцию можно задать в конъюктивной нормальной форме, в которой каждая элементарная дизъюнкция является дизъюнкцией элементов соответствующего мини-сечения.

Например, для той же мостиковой схемы структурную функцию можно записать в виде

.

Дата добавления: 2015-04-30