Проверка статистической гипотезы о соответствии экспоненциальному распределению

Проверка статистических гипотез

Для проверки статистической гипотезы наиболее мощным является критерий Бартлетта:

; (2.3)

где - оценка средней наработки до отказа;

r- число наработок до отказа;

t _i - значение i-той наработки.

Если выполняется условие:

;

где c ² для заданного уровня значимости a, числа

отказов r находится из табл. 5 прил.,

то гипотеза о принадлежности выборки к экспоненциальному распределению не отвергается.

Проверку можно осуществлять и с помощью критерия Пирсона: ; (2.4.)

где - теоретическая частота, - число интервалов

Условием того, что гипотеза о принадлежности статистического распределения к экспоненциальному не отвергается, является неравенство:

Значения c ² _{a ;k-2} приведены в табл. 5 прил.

ПРИМЕР 2.2

При проведении исследования надежности карданного вала формирующего ролика моталки были получены следующие значения наработок в сутках: 1,4,26,5,15,5,8,3,12,5.

Проверить гипотезу о принадлежности выборки к экспоненциальному распределению.

а) Проверяем гипотезу по критерию согласия Бартлетта (2.3).

1.Все вычисления сведём в таблицу:

N											T	ålnti
ti											8.4	---
lnti		1.1	1.39	1.61	1.61	1.61	2.07	2.48	2.71	3.25	----	17.83

2.Определяем значение критерия Бартлетта:

для уровня значимости a = 0,1 из табл. 5 прил.

c²_0.05;9=3.33, c²_0.95;9=16.9

3.3<B_r=5.9<16.9

Следовательно, гипотеза о принадлежности выборки к экспоненциальному распределению не отвергается.

б). Проверяем гипотезу по критерию Пирсона.

Все вычисления сводим в таблицу.

K	1-6	6-11	11-16	16-21	21-26	å
ni				---
	0.6	0.1	0.2		0.1
Ù (Pi-Pi)^2 Pi	0.8	0.05		0.2	0.05	1.1

Число интервалов - K = 5 lg N = 5 lg 10 = 5.

Протяженность интервалов - сут.

Теоретическая частота -

Для a=0,1 и к-2 =5 - 2=3 по табл. 5 прил.Находим - c²_0,9;3 =6,25.

Так как соблюдается неравенство

c_c²=1,1< c²_0,9;3 =6,25

,то гипотеза о принадлежности выборки к генеральной совокупности, описываемой экспоненциальным распределением, не отвергается.

Проверка статистической гипотезы о её соответствии распределению Вейбулла

Проверка гипотезы о принадлежности выборки к распределению Вейбулла осуществляется с использованием критерия " S- статистика":

(2.5)

где M_i - весовой коэффициент, значения которого берутся из табл.5 прил.

[r/2] - означает, что берется целая часть числа.

Если выполняется условие:

S_kp(q,r) >S,

где S_kpдля доверительной вероятности q и числа отказов r берется из табл. 4,

то гипотеза о принадлежности выборки к генеральной совокупности, описываемой распределением Вейбулла не отвергается.

ПРИМЕР 2.2.

Проверить гипотезу о принадлежности к распределению Вейбулла выборки

52,32,96,75,60,38,42,79,55,63

.

Возможность принадлежности исходной выборки к распределению Вейбулла проверяем по критерию "S-статистика".

Значения M_i берем из табл. 5.

Вычисления сведем в таблицу.

N	ti	ln ti	ln ti+1 - ln ti	Mi	ln ti+1 - ln ti Mi	å
1.		3.466	0.171	1.054	0.162	1.476
2.		3.636	0.101	0.56	0.180
3.		3.738	0.251	0.4	0.627
4.		3.989	0.118	0.324	0.055
5.		4.007	0.087	0.286	0.304
6.		4.094	0.049	0.269	0.182
7.		4.143	0.174	0.272	0.64
8.		4.317	0.052	0.301	0.173
9.		4.369	0.195	0.405	0.481
10.		4.564	å= 2.804

Из табл. 5 прил. для q=0,9 и r =10 находим: S_kp(0,9;10) =0,6S=0,526 <S_kp=0,64

Следовательно, гипотеза о принадлежности выборки к распределению Вейбулла не отвергается.

Проверка статистической гипотезы о соответствии выборки нормальному или логарифмически нормальному распределению

Проверка осуществляется с использованием критерия Пирсона

.

Если выполняется условие

c_с² < c²_a;k-3,

Значения берутся из табл. 5 прил.

то гипотеза о принадлежности выборки к нормальному или логарифмически нор­мальному распределению не отвергается.

ПРИМЕР2.3. Получены наработки карданного вала 7 формирующего ролика моталки в сутках: 43, 3, 44, 62, 82, 80, 24, 77, 4, 21. Проверить, принадлежит ли данная наработка к нормальному распределению.

1. Упорядочим статистическую совокупность:

3, 4, 21, 24,43, 44, 62, 77, 80, 82.

2. Осуществим разбиение на интервалы:

K= 5lgN= 5lg10=5.

l= R/K=(82-3)/5=16.

3. Вычисление теоретических частот сведем в таблицу:

К	Границы интервалов	Середина интервалов	Zi=(ti-t^*)/s^*	Zi+1=(ti+1-t^*)/s^*	Ф(zi)	Ф(zi+1)	Pi	Ù Pi
	3…19		-¥	-1.062	-0.5	-0.356	0.144	0.2
	19…35		-1.062	-0.352	-0.356	-0.137	0.219	0.2
	35…51		-0.352	0.352	-0.137	0.137	0.274	0.2
	51…67		0.352	1.062	0.137	0.356	0.219	0.1
	67…83		1.062	¥	0.356	0.5	0.144	0.3

c²_0.1;2=0,211 из таблицы 5 прил.

4. Определим критерий согласия Пирсона:

>

следовательно, гипотеза о принадлежности данной выборки к нормальному распределению отвергается.

Дата добавления: 2015-04-30