Нагруженный резерв

Каличественные характеристики резервирования.

Резервное решающим органом

Такая система с моторитарынм органом выбирает какая система идет на выход. По объему нагрузки разделяется на классификации

1. нагруженный (горячий)

2. облегченный (тепловой)

3. ненагруженный (холодный)

а) общее резервирование

Надежность таких систем определяется числом резервных элементов, применяющихся на один рабочей элемент. Это число обозначается m и называется кратность резервирования

M = число резервных элементов / число основных элементов

При определении надежности резервных устройств мы предполагаем, что отказы его отд. элементов взаимно незаменимы, а так же резервируешиеся устройства имеют высокую надежностью. При этих допущения вероятность отказа устройства, состоящего из (m+1) параллельных ветвей, равна:

m+1 Qm+1 = П qj j=1

(5.1)

где

q_j вероятность отказа _j элемента

Вероятность безотказной работы такого устройства

m+1 Pm+1 = 1-Qm+1= 1- П qj J=1

(5.2)

Рассмотрим пример:

Система состоящая из двух систем параллельных ветвей с вероятностью q₁ и q₂. тогда Р=1-q₁,q₂

Q₁ = 1-P₁ Q₂ = 1-P₂

P= P1 +P2 – P1P2

(5.3)

В том случае, если все элементы резервной системы одинаковы, то выражение 5.1 и 5.2

Записываются в следующем виде

Qm+1 = q ^m+1

(5.4)

Pm+1 = 1-q^m^+1

(5.5)

Вероятность безотказной работы системы состоит из последовательного соединения элементов

n P = П Pi i=1

(5.6)

n Q= 1-P = 1 - П Pi i=1

(5.7)

Найдем вероятность отказа устройства, состоящего из последовательно параллельно включающихся элементах.

Вероятность отказа такой системы

m+1 n Q n,m+1 = П [1 - П Pij] i=1 j=1

(5.8)

m+1 n Робш = Рn,m+1 = Qn,m+1 = П(1 - П Pij) i=1 j=1

(5.9)

Для устройства, состоящего из последовательно параллельно включающихся одинаковых элементах, можно записать

Qобш = Q n,m+1 = (1- Р^n)^m^+1=[ 1-(1-q)^n]^m^+1

(5.10)

Робш = 1-Qобш =1-(1- Р)^n^,^m^+1

(5.11)

Если выражение 5.10 разделить в биноминальный рад заменить m+1 = K и пренебречь членами высших порядков

Qобш = [ 1-(1-q)^n]r≈ n^кq^к

(5.12)

(1-q)ⁿ = 1 – nq + (n(n-1) / 2!)q² - (n(n-1)(n-2) / 3!)q3

б) Раздельное резервирование

.

Обозначим через q_i вероятность отказа участка резервирования, тогда вероятность отказа раздельного резервирования можно определить:

n

Q_разд = 1 – ПPi Pi = 1-q_i

i=1

при m – кратном резервировании, а с основным m+1 = K_i

K qi = Пqj j=1

(5.13)

n n к Qразд = 1 – П(1-q1) = 1- П(1-Пqj) i=1 i=1 j=1

(5.14)

Если все элементы в системе одинаковы, то

Qразд = 1-(1-q^к)^n

(5.15)

Если 5.15 в биноминальный ряд и отбросить члены высшего порядка, то

Qразд ≈ n q^k

(5.16)

Pразд = (1- Q^k)^n= [1-(1-p)^k]n

(5.17)

Сравним общее и раздельное резервирование в зависимости от числа участков n и кратности резервирования m и надежности элементов Р

K = Q_обш / Q_разд = n^m+1q^m+1/nq^m+1=n^m

Для примера n=50, P=0,9

Р = 0,005, m = 0

Р_общ = 0,01, m =1

Р_разд = 0,5, m = 1

При экспоненциальном распределении отказов

Робщ = 1-(1-e^-^λtn)^m^+1

(5.18)

При раздельном резервировании вероятность отказа

К= Рразд [ 1-(1-e^-^λt)^к]^n

(5.19)

Чистота отказов

fp(t) = d[1-p(t)]/dt = n(m+1)λoe^-^λot(1-e^-^λt)^m [1-(1-e^-^λot)^к]^n^-1

(5.20)

Интенсивность отказов

Λр(t) = fp(t) / Pp(t) = n (m+1) λo e^-λot(1-e^λt)^m/ [ 1-(1-e^-λt)^k]^n

(5.21)

Среднее время безотказной работы можно найти интегрируя выражения для вероятности безотказной работы.

Тср = ∫ Рр(t) dt = 1 / λo + 1 / 2λo + ….. + 1/ kλo = To (1 + ½ +…1/k)

(5.22)

Дата добавления: 2015-04-30