Динамические измерения и динамические погрешности 2 страница

Учитывая, что СИ входит в измерительную цепь наряду с дру­гими звеньями (датчиками, усилителями, преобразователями, трансформаторами и т. д.), каждый из которых тоже обладает сво­ими динамическими свойствами, в целом следует говорить о не­котором аналоге измерительной цепи — измерительном преобра­зователе (ИП) с известными (заданными) динамическими ха­рактеристиками.

Для описания динамических свойств ИП необходимо задать та­кие параметры, которые позволили бы для любого входного сигна­ла x(t) определить выходной y(t) сигнал, а также решить обратную ""Задачу (восстановление входного сигнала, т. е. оценки технического

Метрология, Црандаргизация, сертификация

состояния ТС) с учетом дестабилизирующих факторов (помехи, внешние влияния, неинформативные параметры и т. п.). Связь меж­ду входным и выходным сигналами осуществляется через оператор.6 данного ИП:

y(t) = Bx(t). > (2.30)

Оператор В отражает характер отклика ИП на входной сигнал. Математически оператор В может быть линейным и нелинейным, дифференцируемым в обыкновенных и частных производных, описан дифференциальными и интегральными уравнениями, ря­дами и функциями.

Для определения оператора во временной области используют пе­реходную или импульсную функции, а в частотной — передаточную.

Прежде всего рассмотрим, какие сигналы подлежат анализу при динамических измерениях. В общем случае здесь используются детерминированные и случайные (стохастические) модели сиг­налов, хотя реально они смешанные.

Детерминированные модели бывают периодическими и непе­риодическими. И те и другие могут быть непрерывными во време­ни или представлены в виде последовательности дискретных им­пульсов. Из всех возможных видов непрерывных непериодических сигналов наибольшее распространение для описания динамичес­ких свойств получили финитные, т. е. отличные от нуля лишь на конечном интервале времени, и модели с ненулевым установив­шимся значением. Эти сигналы описываются либо с помощью интеграла Фурье, либо изображением по Лапласу.

Непрерывные периодические сигналы могут быть выражены рядом Фурье, изображениями по Лапласу, полиномами Чебыше- ва, Лежандра и Лагерра.

Случайные сигналы можно представить в виде некоторой слу­чайной функции времени (случайный процесс) либо дискретной фун­кцией времени (случайными последовательностями). Известно, что слу­чайные процессы могут быть нестационарными и стационарными, а последние — эргодическими и неэршдическими. В зависимости от вида случайного сигнала подбирается и соответствующий математический аппарат. При этом случайный процесс может быть описан: совокупно­стью ограниченных во времени реализаций; совокупностью функций распределения; автокорреляционной функцией; разложением по сис­теме ортонормированных функций.

Для линейных моделей оператора В используются интеграль­ные уравнения Фредгольма, Вольтерра, дифференциальные урав­нения, разложения в ряды, а для нелинейных — операторы Уры- сона, Хаммерштейна, Лихтенштейна — Ляпунова.

2.10.2. Динамические измерения и погрешности детерминированных линейных измерительных цепей

Для расчетно-экспериментального определения динамических характеристик используют типовые воздействия на вход ИП, ко­торым соответствуют определенные реакции (отклики) на выхо­де ИП. В качестве типовых воздействий могут быть:

1. Единичная ступенчатая функция, представляющая собой мгновенные изменения величины на единицу (рис. 2.14,а):

О При t<0;

[О при t > 0.

Реакция h(t) на этот сигнал, называемая переходной характе­ристикой, воспроизводит скачок x(t) либо с запаздыванием т_а (кривая а), либо с колебанием (кривая 6) и запаздыванием т₆.

2. Импульсная (весовая) функция (5-функция Дирака), равная нулю при t* О и бесконечности — при t= 0, но ее площадь равна единице, так как J&fr = 1 (рис. 2.14,6). Реакция на импульсное воз­действие — переходная характеристикаg(t).

3. Линейно-измеряющееся во времени воздействие (рамповая функция)

^[«при^О;

[Л/ при / > 0.

Реакция на это воздействие — переходная характеристика c(t) на рис. 2.14,в.

4. Синусоидальная (гармоническая) функция x(t) =А siruo/. Реак­ция на это воздействие — сигнал y(t) со сдвигом по фазе на со (рис. 1.14,г), который может быть и несинусоидальным. При изменении угловой частоты со от 0 до °° можно получить амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФХ) (рис. 2А4,д), которая позволяет судить о статических и динамических свойствах ИП в частотной области. Характеристики h(t), rj(/) и с (?) позволяют говорить об этих свойствах во временной области.

В комплексном виде АФХ

w(Ad)= ф)+ ₇-е(«)=|Щ=а(«У*Ч _{(2 31)}

где Дсо) иуВ(со) — действительная и мнимая части уравнения; Д/со) и У(до) — преобразование Фурье входного воздействия и реакции объекта на нее; Л(со) — амплитудно-частотная характеристика; ср(со) — фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

Другими словами, АЧХ и ФЧХ представляет оператор В в комп­лексной форме, где АЧХ — модуль, а ФЧХ — аргумент.

Перечисленные динамические характеристики для линейных (линеаризированных) сигналов взаимосвязаны, и при наличии одной из них можно получить другие. Например, АЧХ может быть получена, если известны переходные характеристики от ступен­чатой или импульсной функции h(i) и i(?) по уравнениям:

W(j(o) = j(olh(t)e-^Jwtdt

или о (2.32)

W(M = Mg(t)e~^JU"dt о

t

В свою очередь, h(t) = jg(t)dt;g(t) = dh(t)/dt, о

g(t) = — ]w(j(0)e^imd(0 и т.д. 2тс

Все ИП могут иметь различные динамические характеристики, но большинство из них с некоторыми допущениями можно отнести к одному из типовых звеньев: безынерционному (усилительному), апериодическому, колебательному, дифференцирующему и интег­рирующему или их комбинациям. Все эти звенья имеют различные, но типовые для звена передаточные функции — комплексную ве­личину, полностью определяющую динамику передачи измеритель­ной информации.

Передаточную функцию можно получить, используя различные методы оценки динамических качеств системы. Однако наиболее об­щей формой описания динамических свойств ИП является диффе­ренциальное уравнение, связывающее х, у и их производные:

/₁(у\у"-\...,/,у)=/₂(х^т,х^т-^,,...У,х). (2.33)

Это нелинейное уравнение можно заменить линейным, если при его разложении в ряд Тейлора достаточно ограничиться чле­нами, содержащими приращение переменных в первой степени

a_ny"+a_n__lyⁿ-^l+... + a₀y = b₀x +... + b_m__]x^m-^l+b_mx^m, (2.34) где а. — постоянные коэффициенты, определяемые параметрами ИП; b_j — постоянные коэффициенты, получаемые эксперимен­тально.

В общем случае коэффициенты a_i и b_j определяют как частные производные функции f_x и /₂ уравнения (2.33) по соответствую­щим переменным. Для ИП, которые даже приближенно не могут считаться линейными, можно применять любые характеристики, Устанавливающие связь между у их.

Используя преобразования Лапласа, динамическую характе­ристику (2.31) можно представить при нулевых начальных усло­виях в виде передаточной функции

Y(P) _b_mP^m+b_m__lP^m-^l+...+ b₀

где Y(P) и X{P) — изображения по Лапласу выходного и входного сигналов; Р — комплексный параметр.

В частности, заменив в уравнении (2.35) р = усо, получим АФХ по (2.31). Очень важно, что при такой замене передаточную фун­кцию можно найти по экспериментальным данным, используя формулу (2.32).

Знаменатель передаточной функции, приравненный к нулю, дает характеристическое уравнение ИП

а_пР^п+а_п__1Р"-'+... + а₀= О, (_fl„>0). (2.36)

Хо

>т

У]		VI	>
			Я
х	-------------------	>- V,	—-j—--
		■V/X/У///,
2L	х	у			цt
			i
	т	t	£Т		t
	б)		зт

8) Рис. 2.15. Реакция ИП на скачкообразное изменение величины

По уравнению (2.33) оценивают динамическую устойчивость ИП, так как только устойчивые ИП могут быть работоспособны­ми в динамическом режиме. По передаточной функции ЩР) опре­деляют реакцию ИП на изменение входного сигнала. Например, при воздействии импульсного сигнала

W(P) = jg(t)e-^p'dt. о

Разнообразные звенья измерительной цепи могут быть соедине­ны между собой различным образом, что влияет на передаточную функцию ИП в целом. В табл. 2.5 приведены соответствующие типо­вые передаточные функции основных звеньев для различных схем соединения.

В реальных ТС инерционность ИП, определяющая динамичес­кие процессы при измерениях, проявляется по-разному. Рассмот­рим наиболее типичные случаи при измерении постоянных вели­чин, величин, изменяющихся с приблизительно постоянной ско­ростью, и величин, изменяющихся по колебательному принципу, в частности по синусоиде. _;

Таблица 2.5

Звено	Передаточная функция W(P)	Схема соедине­ния звеньев	Передаточная функ­ция W(P)
Безынерционное (усилительное)	К	Последователь­ное соединение звеньев	Wp(P)= W;(P) х XW2(P)... Wn(P)
Идеальное диф­ференцирующее	кр
Реальное диф­ференцирующее	Кр Тр +1	Параллельное соединение звеньев	Wp(P)= W,(P)+ + W2(P)+... + W„(P)
Идеальное ин­тегрирующее	К/р
Реальное интег­рирующее	К Р(ТР +1)	Встречно- параллельное со­единение двух звеньев с обрат­ной связью	Wp(P)= ЩР) \ + ЩРЩ{Р)
Апериодическое (инерционное)	к тр +1
Колебательное	к Т^2Р^2 +27^ + 1	Замкнутая сис­тема	WP(P) + 1

Примечание. К — коэффициент усиления; Т— постоянная времени; \ — коэффициент успокоения (демпфирования); знак "+" при положи­тельной, а "-" при отрицательной обратной связи; W(.P) и W_p(P) — соответственно передаточные функции замкнутой и разомкнутой сис­тем.

При измерении постоянных величин инерционность ИП про­является в том, что выходной сигнал не мгновенно следует за измеряемой величиной, а постепенно приближается к своему новому устанавливающемуся значению. Например, при автомати­ческом контроле размера детали измерительный стержень из по­ложения х₀ (рис. 2.15,а) мгновенно перемещается в положение х_г При этом выходная величина СИ изменяется от начального зна­чения^ до значениям, (рис. 2.15,6) в соответствии с уравнением

+ (2.37)

Передаточные функции типовых звеньев

где £ — статическая чувствительность СИ.

Из рис. 2.15,5 видно, что при этом имеет место переходный процесс с переходной функцией (2.37).

В общем случае переходная функция описывается уравнением

' i.. I,

y = y₀ + S₀(x_l-x₀)(l-e ^т), (2.38)

где Т — постоянная времени.

Постоянную времени легко найти по графику переходной фун­кции, проведя касательную к кривой (см. рис. 2:15,6), что составля­ет 0,63 от времени полного приращения до установившегося значе­ния.

В реальных условиях кривая переходного процесса имеет более сложный колебательный характер из-за внешних и внутренних помех (шумов). Поэтому рабочий процесс измерения начинают спустя некоторое время после установки детали на позицию изме­рения. Время успокоения t обычно составляет (3...4)Г. При умень­шении t, например, до 2Т из-за нестабильности ±Дt времени успо­коения (рис. 2.15,в) может возникнуть дополнительная динамичес­кая погрешность ±Ду.

\
		t

Рис. 2.16. Формирование динамической погрешности

При измерении величин, изменяющихся с постоянной скорос­тью и (например, измерение тока аккумуляторной батареи в режи­ме ее разряда), выходная величина у будет изменяться по кривой 2 (рис. 2.16), асимптотически приближающейся к прямой (пунктир), параллельно идеальной кривой 1 изменения величин и смещенной относительно нее вдоль оси времени на постоянную времени Т. Тог­да возникает систематическая динамическая погрешность Д =-мТ,

При случайном колебании скорости Ли дополнительно появляется случайная составляющая динамической погрешности Д _Л, =±7Ли [13].

При измерении величин, изменяющихся приблизительно по синусоидальному закону (например, при контроле биений, оваль- ностей и т. п.), входная величина изменяется как

х(/) = X sin со/,

где X и а) — соответственно амплитуда и угловая скорость измене­ния измеряемой величины.

Соответственно изменение выходной величины у можно пред­ставить как

Я/) = 5₀/V sin соt.

Инерционность приводит к тому, что при изменении угловой скорости со чувствительность изменяется, а колебание выходной величины смещается по фазе относительно x(t) (рис. 2.17), т. е. чувствительность S и сдвиг по фазе (р оказываются зависимыми от частоты со колебания на выходе составят

y(t) = S(co)Xsin [со/ + ф(ш)], (2.39) где У(со) = амплитуда сигнала на выходе.

Рис. 2.17. Синусоидальное изменение измеряемого параметра

(2.40)

S₀X

Тогда АЧХ системы будет равна отношению Y(a>) S(co)X S(co)

А(а>):

S₀X

АЧХ И(со)] и ФЧХ [ф(со)] почти не зависят от амплитуды изме­ряемой величины и являются универсальными характеристиками инерционности.

Систематическая динамическая погрешность в соответствии с формулой (2.29) относительно амплитудных значений

' ' А-Х^ЛЙО)-!]. ₍₂₄₁₎

Случайная составляющая динамической погрешности обуслов­лена колебаниями Дю частоты

dA{ со) d(o

Д*=Х

Aw. (2.42)

Если, например, для звена АЧХ имеет вид Л(со) =, ^ -, то

л/Г

д_я=х[л²(ш)-1]л(со)—.

со

В общем случае для расчета динамической погрешности по урав­нению (2.29) выходной сигнал представим в виде интеграла свертки

y{t) = ]x{t ~ x)g(x)dz, о

где g(x) — импульсная функция. Тогда

A_g (f) = ]x(t - T)g(r)dr- x(t). ₍2.43)

о

Представим x(t) многочленом степени г и запишем x(f- т) в виде

г ГА v(^r)frt_T(^r>

x(t--т) = x(i) -x(i)t + ^т² +... + (-1)' ^{{ Т}. (2.44) 2! г!

Подставим формулу (2.44) в (2.43) и получим

л_й (0 = *(/) Jg(т)dr - x(t)hg(т)«Гт +...

о о

г! о

Обозначим

2пг2

+ со Т

C₀=jg(z)dT-l; С, = -Jzg(r)dz;...; С_г = (-!)'] х² g(z)dz, тогда

С„

Л_? (0 = C₀x(t) + С¹ x(t) +,... + jc ⁽° (г)

Коэффициенты С₀, С,,..., С. называются коэффициентами

ошибок. Их можно вычислить через передаточную функцию W{P).

Для этого, считая в уравнениях (2.32)? = ую = 0, Щ0) - \g(t)ctz

о

(2.45)

%

получаем С₀ = W (0) -1.

Дифференцируя (2.32) по Рн считая Р- 0, находим

dW(P)

(O

dP

p= о

p=o

dP

Переходя к изображениям, получим

\(Р) = У(Р) ~ Х{Р) = *(?)[ W{P)-\], где ^(/^-l есть передаточная функция ИП по погрешности.

Пример 2.10. Для термоприемника (термопары, термометра сопротивления и т. п.), имеющего передаточную функцию ЩР)=

=—-—, найти погрешность Д„(/) при x(t) = const, линейном и

Г/7 + 1 ⁸

параболическом входном сигнале.

Решение. Сначала находим коэффициенты:

C₀=W(P)-j|_/j=o=0;

= т(т-1).

Рис. 2.18. Реализация различных видов сигналов

Тогда при x(/)=a=const; = С а = 0.

При линейном входном сигнале x(t) = bt + а, Дg(t)₂ = С_д(Ь/ + а)+ + C_[b = -xb.

При параболическом x(t) = a +bt'+ It². Значит,

Ag(f)₃ = С₀(я + Ы + И_г) + С,(/> + 2//) + С₂/ = -т(6 + 2Ы) + т(т -1)/= = —2т//—т = -т(2// + b + Г) + х²1.

Соответствующие графики приведены на рис. 2.18.

2.10.3. Динамические погрешности случайных процессов

Обычно на вход ИП подает полезный сигнал с помехами (шумом). Такой сигнал является случайной функцией времени. То же самое относится и к сигналу на выходе ИП, а динамическую погрешность можно рассматривать как сумму детерминированной составляющей, рассмотренной в 2.10.2, и случайной динамической погрешности, обус­ловленной шумом. Поэтому расчет такой случайной динамической по­грешности состоит в определении ее статистических характеристик на выходе по известным статистическим характеристикам входного сиг­нала помех (шумового сигнала). Для этого используют математическую теорию случайных функций.

Характеристики случайных функций вводятся вместо законов распределения, поиск которых для случайных процессов — задача весьма трудоемкая и сопряженная с большими неточностями.

В качестве основных характеристик случайных функций при­нимают:

• математическое ожидание m{t) = M\x(t)]\

• дисперсию D (/) = о² (0 = M[x{t) - т (f)];

x(t_x)x(t₂)

,где x(t.)-

корреляционную функцию К_х (t_р /₂) = М

~x(t_{)-m_x(t) и xit₂)-x(t₂)-m_x(/)— центрированные величины.

При -t₂ K_x(t_vt₂) = M[x(t)²] = o²_x(t). Если t₂ = t_l + z, то ^(/,,?_{1 +} т) = <(т). '

Корреляционная функция — это мера связи между значениями этой функции в моменты времени и + т.

Функция корреляции между значениями одного случайного про­цесса в два разных момента времени (/, /') называется автокорреля­ционной функцией.

Вместо размерной корреляционной функции можно ввести без­размерную нормированную автокорреляционную функцию, модуль которой не превосходит единицы

_{R (t} Л₌ = W)

' jD_x(t)D_x(t') JKMKAOY ^{2Ав)

Нормированную к дисперсии автокорреляционную функцию R(x) = К_х(х)/о_х² называют коэффициентом корреляции. Нормиро­ванная автокорреляционная функция случайных погрешностей случайных функций играет ту же роль, что СКО и доверительный интервал при анализе случайных погрешностей случайных вели­чин, т. е. характеризует погрешность результата.

Если корреляционная функция зависит только от разности аргументов в моменты t и t\ то она аппроксимируется как

К_х(D = Df^al\ (2-47)

где т =/-/'; а — постоянный коэффициент, характеризующий плотность потока импульсов (т. е. среднее их количество), действую­щих в единицу времени. Если интервал корреляции т₀, то а = —.

^хо

Для оценки а можно использовать следующий прием. Как пра­вило, до эксперимента в случайном процессе могут быть выделе­ны быстро- и медленнопеременные составляющие со своими дис­персиями D₆ и D_K, тогда

X б м

Это деление осуществляют по спектральному признаку гранич­ной частоты со_г. Обычно со_г = 0,05 Гц и соблюдается условие 0,1 <DJ D<10. Тогда а = w>_rDJtnD*.

При проведении измерений о свойствах входного сигнала из­вестно немного. В пределах корреляционной теории случайных процессов предполагают, что входной сигнал стационарен с ну­левым математическим ожиданием, поскольку шумовая составляю­щая его колеблется случайным образом около нулевой линии.

Для оценки распределения мощности шума по частоте исполь­зуется более наглядная, чем К_х{х), характеристика — спектраль­ная плотность £(со). При спектральном разложении стационарной случайной функции x(t) на конечном времени (0, /) справедлива взаимосвязь (преобразование Фурье):

2⁶⁰

S_x (со) = — | К _v (г) cos сот d г.

При этом взаимосвязь спектральных плотностей входа и выхода СИ с передаточной функцией MJ(o) выражается как

Тогда дисперсия шума на выходе, характеризующая динамичес­кую погрешность СИ:

]\W(ju)\²S_x(o>)dm.

Пример 2.11. На вход СИ с передаточной функцией Wijia)- 1

поступает помеха со спектральной плотностью 5^.(со) =

jcdt +1

= 4а/(а² + со²). Найти динамическую погрешность в виде СКО. Решение. Спектральная плотность на входе СИ составит

4 а

S_V(W) =---;-----;-------- ^-р.

^д (а + со)(1 + со т)

Тогда

₂ 1 7 4 а,2

°У ~ I................... ^⁼

2л (а² + со²)(1 + со X²) 1 + ат или

^а""" "11 + ят.

Дата добавления: 2015-04-30