Обнаружение грубых погрешностей измерений 1 страница

Как определить закон распределения величин по результатам измерений.

Задача определения результата измерения является частным случаем нахождения оценок параметров ЗРСВ на основании выборки, т.е. ряда значений в n опытах.

Оценку параметра называют точечной, если она выражается одним числом, но она является также случайной величиной.

Точечная оценка истинного значения записывается в виде: â.

Требования, предъявляемые к точечной оценке:

Оценка является достоверной, если выполняются следующие требования:

Если она является состоятельной, т.е. при увеличении числа наблюдений приближается к значению оцениваемого параметра.

Если она является несмещенной, т.е. математическое ожидание равно оцениваемому параметру.

Если она является эффективной, т. е. если дисперсия меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра (для НЗРСВ это соответствует условию оценки по методу наименьших квадратов).

Существует несколько методов определения точечной оценки, наиболее распространенным является метод максимального правдоподобия (ММП):

Вся информация об истинном значении измеряемой величины и рассеивании результатов сосредоточена в ряде наблюдений х1, х2, …. х n. Будем считать, что для всех параметров закон распределения соответствует НЗРСВ, тогда суммарная вероятность для серии наблюдений равна произведению вероятностей.

(3.1)

При некоторых значениях параметров произведение вероятностей будет максимальным, что определит значение точечной оценки измеряемой величины.

Логарифм функции правдоподобия равен:

(3.2)

Согласно теореме Байеса, приравняв к нулю производные данной функции по соответствующим переменным, можно получить точечные оценки для значения результата измерений и его СКО:

- можно найти ,

- можно найти . (3.3)

(3.4)

(для произведения вероятностей)

Рисунок 3.1

Решая систему уравнений, можно получить следующие важные соотношения: (3.5)

- первый начальный момент;

(3.6)

- второй центральный момент.

Если взять вторую производную от логарифма плотности вероятности, то получим оценку для области неопределенностей и его СКО ()

, , (3.7)

где - СКО среднего арифметического;

- СКО для СКО.

Относительная погрешность определения СКО велика и составляет при 50 измерениях 10%, а для среднего арифметического 7%.

Таким образом, для точечной оценки истинного значения измеряемой величины можно записать следующее соотношение:

=(), (3.8)

Рисунок 3.2

- точечная оценка истинного значения измеряемой величины.

3.2 ОЦЕНКА ИЗМЕРЯЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ С ПОМОЩЬЮ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ

Если необходимо повысить или понизить точность результата, т. е. можно записать

оценку результата измерений с помощью доверительных интервалов:

= , P = …, n =…, (3.9)

где () - доверительный интервал неопределенности.

Если доверительный интервал отличается от стандартного, при котором в него попадает приблизительно 2/3 всех полученных результатов измерений, то необходимо определить значение квантили (). При этом нужно дополнительно указывать число выполненных измерений (n) и доверительная вероятность (P):

Рисунок 3.3

При n > 30 для нахождения числового значения квантили (t) можно использовать закон распределения Гаусса:

Таблица 3.1

P	0,5	0,68	0,95	0,997
t	0,667

Если n < 20, то использовать закон распределения Стьюдента.

3.3 ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ДЛЯ СКО

СКО является также случайной величиной, т. к. получено в результате обработки случайных величин, поэтому для его также можно построить соответствующий ЗРСВ.

Для оценки СКО СКО (), т. е. при нахождении интервала неопределенности для СКО используют распределение c2 - (Пирсона).

(3.10)

где - статистическая дисперсия,

- теоретическая дисперсия.

При , , а , (3.11)

Рисунок 3.4

Теоретически меньше, чем число экспериментов.

(3.12)

- аналитическая форма записи для распределения Пирсона.

k – число степеней свободы,

- вероятность того, что:

. (3.13)

При увеличении числа опытов распределение становятся симметричным.

Значение (a) соответствует вероятности попадания или нахождение СКО в интервале, определенном значениями ccmin при условии, что вероятность непопадания в заданный интервал соответствует уровню значимости (q). Значения c2 табулированы для различных значений доверительной вероятности (Р) и числа степеней свободы (к = - 1).

Для удобства вычислений вероятности попадания СКО в заданный интервал для обеих сторон графика распределения Пирсона принимают равными вероятность непопадания в заданный интервал равными q/2.

При известных интервалах неопределенности СКО можно определить по таблице c2 - Пирсона доверительную вероятность нахождения СКО в заданном интервале или решить обратную задачу, т. е. по заданной вероятности определить интервал неопределенности для СКО.

Таким образом, для оценки доверительного интервала неопределенности СКО используется распределение c2-Пирсона, а для точечной оценки интервала неопределенности СКО формула:

,

где . (3.14)

3.4 ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕДЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ

Нужно подобрать функцию, наилучшим образом соответствующую опытным данным. С этой целью сравнивают экспериментально полученный ЗРСВ в виде гистограммы или полигона с соответствующим теоретическим ЗРСВ, например, нормальным.

Для этого рекомендуется следующий порядок действий:

Построить гистограмму.

Перейти от абсолютных величин к относительным ().

Произвести разбиение теоретического графика на определенное число интервалов, соответствующее числу интервалов на гистограмме.

Определить для данных интервалов значения вероятностей теоретических и экспериментальных.

Найти суммарную меру расхождения между теоретическим и экспериментальным законами распределения случайных величин.

По полученной мере расхождения для числа степеней свободы (k = r – 3, где r –интервалов гистограммы) по таблице распределения cПостроение гистограмм:

При разбиении массива полученных данных на интервалы, необходимо учитывать, что в каждый интервал должно попадать не менее 5 наблюдений.

Таблица 3.2

n	r
40-100 100-500 500-100	7¸9 8¸12 10¸16

Длины интервалов удобнее выбирать одинаковыми, но можно выбирать и с разным шагом: малые интервалы при большой концентрации результатов и большие - при их малой концентрации.

Масштаб гистограммы по осям рекомендуется выбирать из условия отношения высоты к основанию в пределах 5/8.

После построения гистограммы строят плавную кривую (полигон) и сравнивают ее с нормальным законом. Можно подставить полученные значения в формулу Гаусса и сравнить полученный разброс значений с теоретическим графиком. При визуальном сравнении если графики приблизительно совпадают, то можно считать, что закон близок, например, к нормальному. По требованию заказчика вычисляют значение доверительной вероятности соответствия экспериментально полученного закона распределения теоретическому или ожидаемому (метод проверки статистической гипотезы).

при = const, (3.15)

, (3.16)

где - весовой коэффициент ();

- суммарная мера расхождения,

-экспериментальная вероятность

-теоретическая вероятность

(3.17)

- сколько результатов должно было попасть в интервал;

- сколько результатов попало в данный интервал.

При полученной доверительной вероятности превышающей уровень значимости 5-10% можно считать, что закон соответствует нормальному.

Для упрощенного сравнения законов могут использоваться другие способы, например, критерий согласия Колмогорова - Смирнова (l - критерий согласия (3.18)
Рисунок 3.5

Таблица 3.3

l		0,5	0,7	0,8	0,9	1,2	1,4
P		0,964	0,711	0,544	0,393	0,112	0,04

Для данного , при известном числе экспериментов n,по табличным данным находим доверительную вероятность соответствия математической модели реальному объекту измерений.

Данный метод уступает по точности методу -Пирсона, но гораздо проще в применении.

3.5 ОБНАРУЖЕНИЕ И ИСКЛЮЧЕНИЕ ГРУБЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Грубыми погрешностями или промахами называются погрешности значительно выходящие (превышающие) из общего массива данных.

При НЗРСВ часто используется правило 3 , суть которого заключается в том, что погрешности, превышающие значение СКО в 3 раза, считаются грубыми (промахами) и исключаются из расчета, после этого пересчитывают СКО.

При необходимости оценки грубости погрешности с помощью доверительной вероятности (α) используют табличные данные для нормализованных величин:

(3.19)

Таблица 3.4

n
0,9	0,93	0,99
	1,412   1,869	1,414   1,917	1,414   1,972

На практике параметры распределения определяют математической обработкой ограниченного числа результатов наблюдений, называемой выборкой, например, результаты измерений в одной точке шкалы.

Множество результатов наблюдений, из которого производится выборка, называется генеральной совокупностью результатов наблюдений.

3.6 ОБНАРУЖЕНИЕ И ИСКЛЮЧЕНИЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Статистическая обработка результатов многократных наблюдений не позволяет обнаружить систематическую составляющую погрешности (если она неизменна во времени), но для определения СКО (дисперсии) можно использовать неисправленные результаты измерений.

, (3.20)

где - поправка,

- систематическая погрешность.

Необходимо учитывать максимально возможное число дестабилизирующих факторов, влияющие на результат измерений, путем введения соответствующих поправок, т.е., измеряя значения влияющей величины по известным формулам и графикам, вычисляют значения поправок. При этом нужно учитывать, что влияющие величины измеряются также с погрешностями, но это приводит к возрастанию суммарной случайной составляющей погрешности и увеличению результирующего СКО. Поэтому необходимо ввести ограничение, обеспечивающее повышение точности измерений в результате введения поправок, т.е. чтобы положительный эффект за счет снижения систематической составляющей полной погрешности не был скомпенсирован увеличением неопределенности за счет возрастания случайной составляющей погрешности.

При известных знаках систематических погрешностей суммарная поправка соответствует средней систематической погрешности измерений:

(3.21)

где - неисправленный результат;

- исправленный результат;

() - систематическая погрешность;

-поправка.

Систематическая погрешность может быть установлена, например, при проведении поверок СИ. Разность между средним арифметическим и показанием эталонного средства измерения есть систематическая погрешность. Для обнаружения можно также производить замену блоков в устройствах, условия проведения эксперимента и т.п. Значения поправок могут приводиться в виде таблиц, графиков, формул. Они могут быть аддитивными и мультипликативными.

Число поправок может быть большим, а степень их достоверности ограничена, что в тоге приведет к увеличению дисперсии результата измерений:

,

- результат измерений после введения поправки,

, (3.22)

- дисперсии результатов измерений и поправок.

Поэтому нужно определить разумную границу значений поправок учитываемых значений поправок.
, , , (3.23)

Рисунок 3.6

Известно, что если (х) мало, то , поэтому:

, , , (3.24)

Таким образом, можно сделать вывод о том, что поправку целесообразно учитывать, если она больше половины её доверительной погрешности.

Если дисперсия поправок незначительная, то нужно учитывать максимально возможное число поправок.

Рекомендуемые правила при округлении результатов измерений

Числовое значение результата измерения представляется так, чтобы оно оканчивалось десятичным знаком того же разряда, какой имеет погрешность этого результата.

Метрологическая служба, ее структура и функции

Под метрологическим обеспечением измерений понимается установление и применение научных и организационных основ, технических средств, правил и норм, необходимых для достижения единства и требуемой точности измерений.

Понятие «метрологическое обеспечение» применяется, как правило, по отношению к измерениям, испытанию и контролю в целом. В то же время допускается использование понятия метрологическое обеспечение (МО) технологического производства.

При этом МО может включать в себя различные этапы технологических процессов, например:

· установление рациональной номенклатуры измеряемых параметрови оптимальных норм точности измерений;

· технико-экономическое обоснование и выбор СИ, испытаний и контроля;

· стандартизация, унификация и агрегатирование используемой контрольно-измерительной техники;

· разработка, внедрение и аттестация современных методик выполнения измерений, испытаний, контроля;

· поверка, метрологическая аттестация и калибровка контрольно-измерительного и испытательного оборудования;

· контроль за производством, состоянием и использованием КИА;

· разработка и внедрение стандарта предприятия;

· внедрение международных и отраслевых стандартов;

· проведение метрологической экспертизы проектов;

· проведение анализа состояния измерений и т.п.

МО имеет четыре основы: научную, организационную, нормативную, и техническую.

Организационной основой метрологического обеспечения является метрологическая служба РФ, основным ее звеном является государственная метрологическая служба (ГМС), возглавляемая госкомитетом по стандартам (Госстандартом).

Госстандарт руководит разработкой научно-методических, технико-экономических, правовых и организационных основ метрологического обеспечения.

В областях, где надзор и контроль не применяются, используются правила и положения, введенные положением Российской системы калибровки.

Научно-технические проблемы метрологического обеспечения решаются в метрологических НИИ, организационные проблемы (практическая метрология) решаются в основном территориальными организациями Госстандарта.

Метрологическая деятельность в РФ основывается на конституционной норме (ст.71). В развитие этой конституционной нормы приняты законы «Об обеспечении единства измерений» и «О стандартизации», детализирующие основы метрологической деятельности.Эти законы создали правовую базу для внесения существенных новшеств, обусловивших новый этап развития метрологии, который характеризуется переходом от административного принципа управления метрологической деятельностью к закононодательной. Появляются коммерческие метрологические службы.

Целями закона «Об обеспечении единства измерений», принятого в 1993 году, являются:

· установление правовых основ обеспечения единства измерений;

· регулирование отношений государственных органов управления с юридическими и физическими лицами по вопросам изготовления, ремонта, продажи и импорта средств измерений;

· защита прав и законных интересов граждан, правопорядка и экономики РФ от отрицательных последствий недостоверных результатов измерений;

· гармонизация российской системы измерений с мировой практикой и др.

Положения законы расширены Государственной системой обеспечения единства измерений (ГСИ), представляющих собой комплекс нормативных документов межрегионального и межотраслевого уровней, устанавливающих правила, нормы, требования, направленные на достижение и поддержание единства измерений в стране, утверждаемых Госстандартом.

Основными объектами ГСИ являются:

• единицы ФВ;
• государственные эталоны и поверочные схемы;
• методы и средства поверки СИ;
• номенклатура и способы нормирования метрологических характеристик СИ;
• нормы точности измерений;
• способы выражения и формы представления результатов и показателей точности измерений;
• методики выполнения измерений;
• требования к стандартным образцам свойств веществ и материалов;
• организация и порядок проведения гос. испытаний СИ, поверки и метрологической аттестации СИ, их калибровки и т.п.

Текущая метрологическая деятельность регламентируется постановлениями Правительства РФ. Это различные постановления и положения. Например: о порядке создания и правилах пользования федеральным фондом государственных стандартов; о государственных научных метрологических центрах и т.п.

Для реализации положений законов и постановлений правительства разрабатываются и принимаются подзаконные акты – нормативные документы. Это документы, устанавливающие правила, общие принципы или характеристики, касающиеся различных видов деятельности в области МО.

К нормативным документам по метрологии, действующим на территории РФ, относятся следующие:

Стандарт – нормативный документ по стандартизации. Стандарты делятся на ряд видов:

• государственный;
• национальный;
• межгосударственный (ГОСТ);
• региональный;
• международный;
• отраслевой (ОСТ);
• предприятия (СТП);
• научно- технических, инженерных обществ и других общественных объединений.

Важной задачей на современном этапе является гармонизация российских стандартов с международными.

Технические условия (ТУ) – нормативный документ, устанавливающий технические требования, которым должна удовлетворять продукция. Утверждаются предприятием – разработчиком по согласованию с предприятием – заказчиком.

(ПР) Правила по стандартизации, метрологии, сертификации, аккредитации, представляют собой нормативные документы, устанавливающие обязательный для применения положения, методы выполнения работ.

Рекомендации (Р) по стандартизации, метрологии, сертификации, аккредитации являются нормативными докуметами, содержащими рекомендуемые правила для выполнения работ.

Методические инструкции (МИ) и руководящие документы (РД) являются нормативными документами методического содержания.

Регламент- документ, содержащий обязательные правовые нормы. Технический регламент содержит технические требования.

6.2 ОРГАНИЗАЦИОННАЯ СТРУКТУРА ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЕДИНСТВА ИЗМЕРЕНИЙ

В настоящее время используется единая система единиц физических величин, включающая в себя 7 основных единиц (м, кг, с, А, К, Моль, Кд) и 2 дополнительных (радиан, стерадиан), а все остальные единицы - производные.

Планком была предложена естественная система единиц физических величин, построенная на использовании фундаментальных величин (G, h, c, k):

В системе единиц, предложенной Хартри, используются параметры атома: h, e, , .

Представляет интерес система единиц, предложенная Людовичи, в основу которой положены следующие постоянные: e₀.

Эталон - средство измерения, предназначенное для хранения и воспроизведения единицы физической величины и передачи ее размера другим средствам измерения.

Эталоны бывают:

• первичными (обеспечивают наивысшую точность); специальными (используют в случаях, когда работа с основным эталоном в нормальных условиях затруднительна);
• вторичными (эталон - копия, эталон - сравнение для сличения эталонов, эталон- свидетель для проверки сохранности госэталона, рабочие эталоны для передачи размера рабочим средствам измерения).

Вторичные эталоны могут быть:

• одиночными (одна мера или установка);
• групповыми (совокупность однотипных мер для уменьшения погрешности);
• эталонными наборами (для отдельных участков характеристики).

Госэталоны хранятся в метрологических НИИ, а международные эталоны в международных бюро.

Передача размера единиц осуществляется согласно поверочных схем, утвержденных Госстандартом для отдельных величин.

Подчиненность СИ при осуществлении поверок соответствует следующей схеме:

первичный эталон;

• вторичный эталон используется для поверки СИ наивысшей точности;
• рабочий эталон 1 разряда используется для поверки рабочих СИ высшей точности;
• рабочий эталон 2 разряда используется для поверки рабочих СИ высокой точности;
• рабочий эталон 3 разряда используется для поверки рабочих СИ средней точности;
• рабочий эталон 4 разряда используется для поверки рабочих СИ низшей точности.

6.3 МЕТРЛОГИЧЕСКИЕ СЛУЖБЫ И ОРГАНИЗАЦИИ

Государственное управление деятельностью по обеспечению единства измерений в РФ осуществляет Государственный комитет РФ по стандартизации и метрологии (Госстандарт России). Он является федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим межотраслевую координацию, а также функциональное регулирование в области стандартизации, метрологии и сертификации. В своей работе руководствуется Конституцией РФ, постановлениями и распоряжениями Правительства РФ, а также Положением о Государственном комитете РФ по стандартизации и метрологии.

Дата добавления: 2015-04-30