Краткая теория. Рис.1,2 Гистограмма ряда распределения организаций по фондоотдаче

1,096

0.9 0,98 1,06 1,14 1,22 1,3

Рис.1,2 Гистограмма ряда распределения организаций по фондоотдаче

15

Рис. 1.3 Кумулята ряда распределения организаций по фондоотдаче

Анализ ряда и графиков показывает, что распределение организаций по фондоотдаче не является равномерным, чем больше фондоотдача организаций отличается от средней фондоотдачи, тем реже такие организации встречаются.

3. Чтобы найти моду, первоначально определим модальный интервал данного ряда. Из таблицы 1.3 видно, что наибольшая частота соответствует интервалу, где значение варианты лежит в пределах от 1,06 до 1,14. Это и есть модальный интервал. Для расчета определенного значения модальной величины признака, заключенного в этом интервале, применяют такую формулу:

.

где х₀ – нижняя граница модального интервала, в нашем случае 1,06;

i - величина интервала группировки, в нашем примере 0,08;

f₁ - частота интервала, предшествующему модальному (7);

f₂ - частота модального интервала (11);

f₃ - частота интервала следующего за модальным (5).

Подставляя числовые значения из нашего задания в эту формулу, получим:

руб.

Исчислим теперь медиану. Для нахождения медианы в интервальном вариационном ряде определим сначала интервал, в котором она находится (медианный интервал).

Половина суммы частот у нас равна 15. Следовательно, согласно табл. 3.3 медианным интервалом у нас будет интервал со значением фондоотдачи от 1,06 до 1,14.

Формула для исчисления медианы в вариационном интервальном ряде будет иметь такой вид:

,

где х₀ – нижняя граница медианного интервала;

N_Ме – номер медианы;

F_Ме-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

f_Ме – частота медианного интервала.

Подставляя в эту формулу значения, получим:

руб.

Средняя арифметическая для ряда распределения определяется по формуле средней арифметической взвешенной ( см. табл. 3.4, гр.3):

руб.

Следовательно, средняя арифметическая равна 1,1; мода-1,092 и медиана- 1,096. Соотношение этих трех величин указывает на направление и степень асимметрии распределения. Так как значение средней арифметической больше значения медианы и моды, то есть 1,1 >1,096>1,092, то это правосторонняя асимметрия (положительная). Правосторонняя асимметрия свидетельствует о прогрессивном развитии отрасли, о том, что оно идет в сторону увеличения эффективности использования основных производственных фондов (увеличения фондоотдачи) организаций.

Чтобы вычислить среднее квадратическое отклонение, нужно определить дисперсию признака. Формула этого показателя такая:

Корень квадратный из дисперсии и будет средним квадратическим отклонением:

Проделаем в таблице 1.4 необходимые расчеты для нахождения дисперсии, среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации.

Таблица 1.4

Вычисление дисперсии, среднего квадратического отклонения

и коэффициента вариации

Группы организаций по фондоотдаче, руб.	Число организаций, f	X	Xf
А
0,9 – 0,98 0,98 – 1,06 1,06-1,14 1,14 – 1,22 1,22 – 1.3		0,94 1,02 1,1 1,18 1,26	2,82 7,14 12,1 5,9 5,04	0,026 0,006 0,006 0,026	0,078 0,042 0,036 0,104
Итого:				0,064	0,26

руб.

Анализ полученных данных говорит о том, что фондоотдача организаций отличается от средней фондоотдачи на 0,94 руб., или на 8,55%. Значение коэффициента вариации v не превышает 40 %. Отсюда следует, что вариация фондоотдачи не высокая и средняя фондоотдача, рассчитанная по средней арифметической взвешенной, является типичной, надежной величиной, свидетельствующей об однородности совокупности.

4. Вычислим среднюю арифметическую по исходным данным и сравним ее с аналогичным показателем, рассчитанным по таблице 3.4. Средняя арифметическая для первичных данных вычисляется по формуле простой средней арифметической:

, руб.

Данный результат, полученный на основе средней арифметической простой, отличается от средней арифметической взвешенной. Это объясняется тем, что в расчете на основе ряда распределения мы уже не располагаем исходными индивидуальными данными, а вынуждены ограничиваться сведениями о величине середины интервала.

№ 4. Имеются данные о производительности труда рабочих:

Табельный номер рабочего	Произведено продукции за смену, шт. (х)
В дневную смену	В ночную смену

Определите:

1) частные дисперсии;

2) среднюю из частных дисперсий;

3) межгрупповую дисперсию;

4) общую дисперсию (по правилу сложения дисперсий и обычным способом);

5) эмпирическое корреляционное отношение.

Сделайте выводы.

Решение:

Это первичные данные.

1. Для расчета групповых дисперсий воспользуемся формулой:

, где .

Расчет дисперсий по группам представим в таблице 1.5:

Таблица 1.5

Табельный номер рабочего	В дневную смену	В ночную смену
Произведено продукции, шт. (у)			Произведено продукции, шт. (у)
		-2 -4 +2 -4			+2 -2 -2 +2

шт. шт.

Подставив полученные значения в формулу, получим:

2. Средняя из групповых дисперсий равна:

.

3. Для определения межгрупповой дисперсии предварительно следует подсчитать общую среднюю как среднюю взвешенную из групповых средних:

шт.

Затем рассчитаем межгрупповую дисперсию:

4. Общую дисперсию исчислим по правилу сложения дисперсий:

Проверим полученный результат, исчислив общую дисперсию обычным способом:

4) Коэффициент детерминации равен:

или 15,2 %.

Эмпирическое корреляционное отношение составит:

;

Коэффициент детерминации показывает, какая доля всей вариации признака обусловлена фактором, положенным в основу группировки. Коэффициент детерминации = 15,2%, следовательно, фактор времени работы (ночное или дневное) на 15,2 % обуславливает вариацию производительности труда рабочих. Эмпирическое корреляционное отношение показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками. Корреляционное отношение изменяется от 0 до 1.

Если связь отсутствует, то корреляционное отношение равно нулю. В этом случае дисперсия групповых средних будет равна нулю, т.е. все групповые средние будут равны между собой, межгрупповой вариации не будет. Значит, группировочный признак никак не влияет на образование общей вариации.

Если связь функциональная, то корреляционное отношение будет равно единице. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии (), т е. внутригрупповой вариации не будет. Это означает, что группировочный признак целиком определяет вариацию изучаемого признака. Чем больше значение приближается к единице, тем полнее, ближе к функциональной зависимости корреляционная связь между признаками.

Для качественной оценки тесноты связи на основе показателя можно воспользоваться следующей таблицей (шкалой Чеддока):

Величина	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Сила связи	слабая	умеренная	заметная	тесная	Весьма тесная

Убедившись с помощью группировки и , что связь достаточно тесная, можно перейти к корелляционно-регрессионному анализу.

В нашем примере =0,389, что говорит об умеренной связи между временем работы рабочих (ночное или дневное) и их производительностью труда.

№4 По исходным данным таблицы 1.6

Таблица 1.6

Статистическая информация о фондоотдаче тридцати организаций

№ организации	Выпуск продукции	Фондоотдача
А
	36,45 23,4 46,540 59,752 41,415 26,86 79.2 54,720 40,424 30,21 42,418 64,575 56,612 35,42 14,4 36,936 53,392 41,0 55,680 18,2 31,8 39,204 57,128 28,44 43,344 70.720 41,832 69,345 35,903 50,22	1,05 0,96 1,12 1,19 1,08 0,98 1,3 1,16 1,065 1,1 1,23 1,13 1,03 0,9 1,06 1,15 1,07 1,17 0,94 1,02 1,06 1,18 0,99 1,1 1,28 1,09 1,25 1,04 1,12
Итого	1320,540	32,815

1) установите наличие и характер связи между признаками – выпуском продукции и эффективностью использования основных производственных фондов (фондоотдачей), образовав, пять групп с равными интервалами по обоим признакам, методом аналитической группировки;

2) измерьте тесноту корреляционной связи между названными признаками с помощью использования коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения. Сделайте выводы.

Решение:

1. Связь между признаками «выпуск продукции» и «фондоотдача» изучается с помощью аналитической группировки. Поскольку аналитическая группировка предполагает разделение совокупности на группы по факторному признаку, его необходимо определить. В нашем примере факторным признаком является фондоотдача, т.к. от нее зависит выпуск продукции. Определяем величину интервала группировки по факторному признаку по формуле:

руб.

Группы будут: 0,9 – 0,98; 0,98 – 1,06; 1,06 – 1,14; 1,14 – 1,22; 1,22 – 1,3.

Чтобы дополнить эти данные средними по группам значениями выпуска продукции, необходимо построить рабочую таблицу 1.7:

Таблица 1.7

Распределение организаций по фондоотдаче

Группы организаций по фондоотдаче, руб.	Номер и число организаций	Выпуск продукции, млн. руб.
А
0,9 – 0,98		23,4 14,4 18,2
Итого
0,98 – 1,06		36,45 26,86 30,21 35,42 31,80 28,44 35,903
Итого		225,083
1,06 – 1,14		46,54 41,415 40,424 42,418 51,612 36,936 39,204 43,344 41,832 50,220
Итого		474,945
1,14 – 1,22		59,752 54,720 53,392 55,680 57,128
Итого		280,672
1,22 – 1,3		79,200 64,575 70,720 69,435
Итого		283,840
Всего		1320,54

На основании таблицы 1.7 построим итоговую таблицу 1.8 аналитической группировки.

Таблица 1.8

Зависимость выпуска продукции организаций от фондоотдачи

Группы организаций по фондоотдаче, руб.	Число организаций,	Выпуск продукции, млн. руб.
Всего	В среднем на одну организацию,
А
0,9 – 0,98 0,98 – 1,06 1,06 – 1,14 1,14 – 1,22 1,22 – 1,3		225,083 474,945 280,672 283,84	18,666 32,154 43,177 56,134 70,960
Итого		1320,54	=44,018

Групповые средние результативного признака определяются по формуле простой средней арифметической:

.

Общая средняя результативного признака по совокупности в целом может быть определена двумя способами:

1) по первичным данным по формуле простой средней арифметической:

,

;

2) по вторичным данным, по формуле взвешенной средней арифметической:

,

Анализ таблицы 1.8 (графы А и 3) показывает, что с ростом фондоотдачи от группы к группе возрастает и выпуск продукции в среднем на одну организацию. Отсюда следует, что между фондоотдачей и выпуском продукции в среднем на одну организацию существует прямая корреляционная взаимосвязь.

2. Коэффициент детерминации равен

Если учесть, что величина межгрупповой дисперсии характеризует влияние только факторного признака, а величина общей дисперсии характеризует влияние всех признаков, влияющих на результативную величину, то частное от деления межгрупповой дисперсии на общую дисперсию укажет на силу влияния факторного признака на результативный.

Эмпирическое корреляционное отношение определяется по формуле:

Все расчеты проделаем в таблице 1.9.

Таблица 1.9

Рабочая таблица для определения межгрупповой дисперсии

Группы организаций по фондоотдаче, руб.	Число организаций,	Выпуск продукции в среднем на 1 организацию, млн. руб.
А
0,9 – 0,98 0,98 – 1,06 1,06 – 1,14 1,14 – 1,22 1,22 – 1,3		18,667 32,155 43,177 56,134 70,96	-25,351 -11,863 -0,841 12,116 26,942	642,67 140,737 0,708 146,807 725,872	1928,069 985,162 7,783 734,037 2903,487
Итого			-	-	6558,538

Межгрупповая дисперсия выпуска продукции равна:

Рассчитаем теперь общую дисперсию уровней выпуска продукции по индивидуальным данным 30 организаций. Для этого составим таблицу 1.10.

Опираясь на данные таблицы 1.10, рассчитаем общую дисперсию:

;

100 – 93,3 = 6,8 %.

Таблица 1.10

Рабочая таблица для расчета общей дисперсии

y	y^2
36,45 23,4 46,54 59,752 41,415 26,860 79,2 54,72 40,424 30,210 42,418 64,575 51,612	1328,60 547,56 2165,97 3570,3 1715,2 721,46 6272,64 2994,28 1634,1 912,64 1899,29 4169,93 2663,8

35,42 14,4 36,936 53,392 55,68 18,2 31,8 39,204 57,128 28,44 43,344 70,72 41,832 69,345 35,903 50,022	1254,58 207,36 1364,27 2850,71 3100,26 331,24 1011,24 1536,95 3263,61 808,83 1878,7 5001,32 1749,92 4808,73 1289,03 2522,05
Итого:	65155,57

Выводы: Величина коэффициента детерминации говорит о том, что вариация выпуска продукции на 93,3 % зависит от вариации фондоотдачи организаций и на 6,8 % от вариации прочих признаков. Эмпирическое корреляционное отношение, равное 0,966, свидетельствует о весьма тесной связи между фондоотдачей и выпуском продукции.

Контрольные задания

Для вариантов 1, 6

№ 1.1 В результате обследования работы станков в механических цехах завода получены следующие данные:

Цех	Отработано станко-часов
Токарными станками	Заточными станками

Определите: среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации времени работы: 1) токарных станков; 2) заточных станков.

Для вариантов 2, 7

№1.2 Имеются следующие данные о количестве произведенной рабочими цеха за смену продукции (в штуках):

10 14 12 15 11 16 14 19 23 13 19 16 19 15 25 21 22

1. Постройте ряд распределения рабочих по количеству произведенной продукции, образовав три группы с равными интервалами. Изобразите ряд графически.

2. По данным ряда распределения определите: а) среднюю выработку продукции (количество произведенной продукции на одного рабочего); б) коэффициент вариации выработки продукции.

Для вариантов 3, 8

№1.3 Имеются следующие данные о распределении рабочих по стажу:

Группы рабочих по стажу	До 5	5 – 10	10 - 15	15 - 20	20 - 25	Свыше 25
Число рабочих

Вычислите: 1. Средний стаж рабочих и среднее квадратическое отклонение.

2. Коэффициент вариации.

Поясните полученные результаты.

Для вариантов 4, 9

№ 1.4 Доля бракованной продукции по пяти цехам завода составила:

Цех
Бракованная продукция, %	0,5	0,25	1,0	1,2	0,8

По каждому цеху определить дисперсию и среднее квадратическое отклонение доли бракованной продукции.

Для вариантов 5, 0

№1.5 Имеются следующие данные, полученные в результате группировки.

Группы предприятий по стоимости основных производственных фондов, млн. руб.	Число предприятий	Валовая продукция на одно предприятие, млн. руб.
1 – 2 2 – 3 3 – 4 4 - 5		1,7 2.4 3,7 4,7
		3,0

Общая дисперсия результативного признака равна 1,4. Определите эмпирическое корреляционное отношение.

Практическое задание №2. Специальные законы распределения математической статистики

Дата добавления: 2015-03-29