Пример 1.9

Использование графа электрической цепи

При анализе сложных электрических цепей возникают трудности на этапе выбора независимых контуров. Устранить их можно, если использовать для составления контурных уравнений направленный граф цепи. В этом случае система контурных уравнений в матричной форме принимает следующий вид:

, (1.6)

где В – матрица контуров, правила составления которой с помощью направленного графа цепи рассматривались ранее; I _k – матрица столбец неизвестных контурных токов; R – диагональная матрица сопротивлений ветвей; Е – матрица столбец ЭДС ветвей, J – матрица столбец источников тока.

Рассмотрим методику использования уравнения (1.6) на следующем примере.

На рис. 1.21 приведена электрическая цепь постоянного тока, которая содержит вырожденные ветви. Это Е3 и J1.

Рисунок 1.21

На рис. 1.22 приведена электрическая цепь после её эквивалентного преобразования с целью исключения вырожденных ветвей. Для этого использовались операции расщепление узла и расщепление ветви. На рис. 1.23 приведён направленный граф данной цепи с произвольно выбранными направлениями ветвей. На рис. 1.24 приведено одно из возможных деревьев графа.

Подготовим листинг решения данной задачи. Зададимся исходными данными. При определении знаков источников в соответствующих матрицах используем условно положительные направления токов и ЭДС в обобщённой ветви (рис. 1.25).

Рисунок 1.22

Рисунок 1.23 Рисунок 1.24

Рисунок 1.25

Составим матрицы источников и сопротивлений ветвей, затем перейдём к диагональной матрице сопротивлений ветвей.

Составим матрицу контуров, используя дерево графа и его связи (см. Пример 1.7).

Рассчитаем левую и правую части матричного уравнения и найдём контурные токи.

Определим неизвестные токи в ветвях заданной цепи, как алгебраическую сумму соответствующих контурных токов.

Ток в вырожденной ветви с источником ЭДС Е3 найдём с помощью первого закона Кирхгофа:

Определим напряжения на ветвях цепи и убедимся в балансе мощностей источников и приёмников.

Баланс мощностей выполняется.

При определении напряжений на резисторах использовался оператор векторизации. Показанное оформление вычислений позволяет сделать листинг компактным.

На последнем этапе необходимо показать на схеме электрической цепи реальные направления токов. Если токи положительные, то необходимо взять направления ветвей графа, а если токи отрицательные, то берут противоположные направления.

Для исключения вырожденной ветви с источником ЭДС необходимо параллельно источнику подключить столько таких же источников, сколько ветвей подключено к нему. Затем узел расщепляетсяи исчезает из схемы.

Для исключения вырожденной ветви с источником тока необходимо последовательно с ним включить столько таких же источников, сколько ветвей охватывает источник тока. Точки соединения источников соединяются с ближайшими узлами. Затем вырожденная ветвь расщепляется и исчезает из схемы.

Дата добавления: 2015-05-06